घात, घातांक एवं करणी — नोट्स, नियम और शॉर्टकट (SSC CGL)

यह अध्याय सीधे अंक देता है। लगभग हर SSC पेपर में इससे दो से चार प्रश्न आते हैं, और किसी में भी लंबी गणना नहीं चाहिए — बस सही नियम सही क्रम में लगाना है। इन नोट्स को एक बार पूरा पढ़िए, फिर नीचे दिए चैप्टर टेस्ट लगाइए।

1. आधार, घातांक और आठ नियम

aⁿ में a आधार (base) है और n घातांक (index या power) है। इसका अर्थ है a को स्वयं से n बार गुणा करना।

#	नियम	उदाहरण
1	a^m × aⁿ = a^m+n	2³ × 2⁴ = 2⁷
2	a^m ÷ aⁿ = a^m−n	5⁷ ÷ 5³ = 5⁴
3	(a^m)ⁿ = a^mn	(3²)⁴ = 3⁸
4	(ab)ⁿ = aⁿbⁿ	6³ = 2³ × 3³
5	(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ	(2/3)⁴ = 16/81
6	a⁰ = 1 (a ≠ 0)	(97 − 12)⁰ = 1
7	a⁻ⁿ = 1/aⁿ	2⁻³ = 1/8
8	a^m = aⁿ ⇒ m = n	समान आधार, समान घातांक

याद रखने का सूत्र गुणा → घातांक जोड़ो। भाग → घटाओ। कोष्ठक → गुणा करो। यही एक पंक्ति नियम 1 से 3 को समेट लेती है, और ये तीनों मिलकर अध्याय के अधिकांश प्रश्न हल कर देते हैं।

नियम 8 क्यों चलता है 1 के अलावा किसी धनात्मक आधार के लिए घातांक बढ़ने पर घात लगातार बढ़ती (या लगातार घटती) है, अतः दो अलग घातांक कभी एक ही मान नहीं दे सकते। इसीलिए a = 1 और a = 0 को छोड़ना पड़ता है — 1⁵ = 1⁹ से 5 और 9 के बारे में कुछ पता नहीं चलता।

2. शून्य और ऋणात्मक घातांक

इस अध्याय में सबसे ज़्यादा गलतियाँ इन्हीं दो नियमों से होती हैं, क्योंकि ये देखने में एक जैसे लगते हैं पर हैं अलग।

शून्येतर आधार, शून्य घातांक: a⁰ = 1। आधार कितना भी भयानक हो, फर्क नहीं पड़ता। (3⁷ − 2¹¹ + 5/9)⁰ = 1 — कोष्ठक कभी मत निकालिए।
शून्य आधार, धनात्मक घातांक: 0^k = 0। अतः 0⁸ = 0 है, 1 नहीं।
ऋणात्मक घातांक पलटता है: a⁻ⁿ = 1/aⁿ और (a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ।

उदाहरण (2⁻¹ + 3⁻¹)⁻¹ का मान।
गलत: 2 + 3 = 5। घातांक कभी योग पर वितरित नहीं होता।
सही: 1/2 + 1/3 = 5/6, अतः उत्तर 6/5।

उदाहरण 7 ÷ 7⁻¹ − 49⁰ × 7 = 7 × 7 − 1 × 7 = 49 − 7 = 42.

3. भिन्नात्मक घातांक और मूल

भिन्नात्मक घातांक मूल लिखने का ही दूसरा तरीका है।

परिभाषा a^1/n = ⁿ√a और a^p/q = (^q√a)^p। इसी क्रम में पढ़िए: पहले मूल, बाद में घात। दोनों क्रम एक ही उत्तर देते हैं, पर पहले मूल लेने से संख्याएँ छोटी रहती हैं।

32^2/5 = (⁵√32)² = 2² = 4 — पहले 32² = 1024 निकालने से कहीं आसान।
(27/125)^−2/3 = (125/27)^2/3 = (5/3)² = 25/9।
मूल का मूल: क्रम गुणा हो जाते हैं। ³√(√x) = x^1/6।

याद रखने योग्य पूर्ण घातें 30 तक के वर्ग; 15 तक के घन (216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375); चौथी घातें 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096; और 1024 = 2¹⁰, 3125 = 5⁵, 4096 = 2¹² = 4⁶ = 8⁴ = 16³। 4096 को चौथी घात पहचान लेना ही अक्सर पूरा प्रश्न होता है।

4. परीक्षा में दशमलव घातांक

SSC को दशमलव घातांक बहुत पसंद हैं, क्योंकि वे डरावने दिखते हैं और हमेशा कट जाते हैं। दशमलव ऐसे चुने जाते हैं कि कुल योग पूर्ण संख्या या सरल भिन्न पर उतरे।

उदाहरण 625^0.16 × 625^0.09 = 625^0.25 = 5। जैसे ही दिखे कि 0.16 + 0.09 = 0.25 = 1/4, चौथा मूल ले लीजिए।

उदाहरण 8^1.5 × 16^0.75 ÷ 4²। आधार 2 पर यह 2^4.5 × 2³ ÷ 2⁴ = 2^3.5 है। हर दशमलव को आधार के अपने घातांक से गुणा करना न भूलें — 8^1.5 तो 2^4.5 है, 2^1.5 नहीं।

5. अज्ञात घातांक निकालना

हर बार यही विधि:

हर आधार को एक ही अभाज्य की घात लिखिए।
हर पक्ष को एक ही घात में समेटिए।
घातांक बराबर रखकर रैखिक समीकरण हल कीजिए।

उदाहरण 5^2x × 25^x−1 = 125^x+1
बायाँ: 5^2x × 5^2x−2 = 5^4x−2। दायाँ: 5^3x+3।
4x − 2 = 3x + 3 ⇒ x = 5।

तीन आकृतियाँ जो नाम से याद रखनी चाहिए

खिसकी हुई घातों का अंतर/योग: छोटी घात का गुणनखंड निकालिए। 3^x+2 − 3^x = 3^x(9 − 1) = 8 · 3^x। अतः 3^x+2 − 3^x = 72 ⇒ 3^x = 9 ⇒ x = 2।
एक ही घात की प्रतियाँ: 3^x + 3^x + 3^x = 3 · 3^x = 3^x+1। जब प्रतियों की संख्या आधार के बराबर हो, घातांक एक बढ़ जाता है।
दो अभाज्य मिलाना: समान घातांक मिल जाते हैं — 2¹¹ × 5¹¹ = 10¹¹, और 3^1.2 × 2^1.2 = 6^1.2।

6. घात शृंखलाएँ और उभयनिष्ठ मान

बंद शृंखलाएँ

यदि a^x = b, b^y = c, c^z = a हो, तो शृंखला में प्रतिस्थापन करने पर a = a^xyz मिलता है, अतः xyz = 1। यदि शृंखला a⁸ पर बंद हो तो गुणनफल 8 है; 1/a पर बंद हो तो −1। नियम सीधा है: सभी घातांकों का गुणनफल, a के उस अंतिम घातांक के बराबर होता है।

उभयनिष्ठ मान वाले प्रश्न

जब a^x = b^y = c^z = k हो, तो लिखिए a = k^1/x, b = k^1/y, c = k^1/z। तब आधारों का कोई भी गुणनात्मक संबंध घातांकों के व्युत्क्रमों का योगात्मक संबंध बन जाता है।

आधारों का संबंध	परिणाम
c = ab	1/z = 1/x + 1/y
c = a²b	1/z = 2/x + 1/y
c = a^pb^q	1/z = p/x + q/y
a^x = b^y = (ab)^−z	1/x + 1/y + 1/z = 0

हर घातांक अपने ही आधार से c = 2³ × 5² और 2^x = 5^y = c^z में 3 जाता है x के साथ (आधार 2) और 2 जाता है y के साथ (आधार 5): 1/z = 3/x + 2/y। इन्हें अदल-बदल कर देना यहाँ की सबसे आम गलती है।

7. करणी: शुद्ध, मिश्रित और सजातीय

परिभाषा करणी (SURD) किसी परिमेय संख्या का ऐसा मूल है जो स्वयं परिमेय संख्या के रूप में न लिखा जा सके — √2, ³√9। यदि मूल ठीक-ठीक निकल आए, जैसे ³√64 = 4, तो वह करणी नहीं है।

शुद्ध करणी: मूल के बाहर कुछ नहीं — √50।
मिश्रित करणी: बाहर कोई संख्या — 5√2।
सजातीय करणियाँ: सरल करने के बाद मूल भाग एक — 3√5 और 4√5 सजातीय हैं; √12 और √18 नहीं। केवल सजातीय करणियाँ जुड़ती-घटती हैं।

चार रूपांतरण

काम	नियम	उदाहरण
शुद्ध → मिश्रित	ⁿ√(mⁿ·a) = m·ⁿ√a	³√108 = 3³√4
मिश्रित → शुद्ध	k·ⁿ√a = ⁿ√(kⁿa)	2·³√5 = ³√40
क्रम बढ़ाना	ⁿ√a = ^nk√(a^k)	³√5 = ⁶√25
क्रम घटाना	^nk√(a^k) = ⁿ√a	⁶√125 = √5

सबसे आम चूक किसी संख्या को मूल के अंदर ले जाते समय उसे उसी मूल के क्रम तक उठाइए। घनमूल के अंदर 2 जाकर 8 बनता है, 4 नहीं।

8. हर का परिमेयीकरण

हर	ऊपर-नीचे किससे गुणा करें	परिणाम
√b	√b	a√b / b
p + q	p − q	p² − q²
p + q + r	(p + q) − r, फिर दोबारा संयुग्मी	दो चरणों के बाद परिमेय

तैयार रखने योग्य मानक परिणाम

1/(√(n+1) + √n) = √(n+1) − √n — हर 1 बन जाता है। दूरबीनी शृंखलाएँ इसी से सिमटती हैं।
(p+q)/(p−q) + (p−q)/(p+q) = 2(p²+q²)/(p²−q²) — परिमेय संख्या।
(p+q)/(p−q) − (p−q)/(p+q) = 4pq/(p²−q²)।
यदि x = a + √b और a² − b = 1 हो, तो 1/x = a − √b ठीक-ठीक। अतः x + 1/x = 2a और x − 1/x = 2√b।

दूरबीनी उदाहरण 1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + … + 1/(√16+√15)
हर पद √(n+1) − √n बन जाता है। बीच का सब कट जाता है, बचता है √16 − 1 = 3।

अंश पर नज़र रखें यदि मूलों के नीचे का फ़ासला 3 है और अंश भी 3 है, तो हर पद फिर भी √m − √n ही है — अंश ने फ़ासला पहले ही काट दिया। दोबारा भाग मत दीजिए।

9. मिश्र करणी — √(a ± 2√b)

विभाजन नियम √(a + 2√b) = √m + √n जहाँ m + n = a और mn = b, तथा m > n। ऋण चिह्न के लिए उत्तर √m − √n होता है।

भीतरी मूल के आगे का 2 ज़रूरी है। न हो तो बना लीजिए:

√(9 − 4√5): लिखिए 4√5 = 2√20, अतः m + n = 9, mn = 20 ⇒ 5 और 4 ⇒ √5 − 2।
√(4 + √15): अंदर दुगुना कीजिए और √2 से भाग दीजिए — √(8 + 2√15)/√2 = (√5 + √3)/√2।

दो परिणाम जो बार-बार आते हैं √(a+2√b) + √(a−2√b) = 2√m (छोटी करणी कट जाती है)
√(a+2√b) − √(a−2√b) = 2√n (बड़ी करणी कट जाती है)

तीन-पद करणी

(√a + √b − √c)(√a + √b + √c): √a + √b को एक ही पद मानकर वर्गों का अंतर लगाइए, जिससे (a + b + 2√ab) − c मिलता है। एक चक्र में प्रायः करणी बच जाती है; दूसरा संयुग्मी परिमेयीकरण पूरा करता है।

10. नेस्टेड मूल

परिमित नेस्ट — अंदर से बाहर

√(45 − √(67 + √196)) = √(45 − √81) = √36 = 6। हमेशा सबसे भीतरी मूल से शुरू कीजिए और हर मूल चिह्न पर लिखा क्रम जाँचिए — छोटा 3 या 4 सब बदल देता है।

अनंत नेस्ट — समीकरण बनाइए

रूप	समीकरण	मान
√(a + √(a + …))	x² = a + x	(1 + √(1+4a))/2; यदि a = n(n+1) तो n+1
√(a − √(a − …))	x² = a − x	यदि a = n(n+1) तो n
√(a√(a√a …))	x² = ax	a

उदाहरण √(30 + √(30 + …)): चूँकि 30 = 5 × 6, उत्तर 6 है। उसी नेस्ट का ऋण रूप 5 देता।

उल्टा रूप यदि नेस्ट का मान u दिया हो, तो धन रूप के लिए a = u² − u और ऋण रूप के लिए a = u² + u।

11. करणियों और बड़ी घातों की तुलना

अलग-अलग मूल क्रम

सबको LCM क्रम पर लाइए और अंदर की संख्याओं की तुलना कीजिए।

उदाहरण √2, ³√3, ⁶√6 → क्रम 6 → ⁶√8, ⁶√9, ⁶√6 → अतः ³√3 > √2 > ⁶√6। ध्यान दीजिए पहले दो कितने पास हैं; इन्हें दो दशमलव के अंदाज़े से कभी मत आँकिए।

अलग-अलग भिन्नात्मक घातांक

सबको हरों के LCM की घात तक उठाइए। 3^1/2, 5^1/3, 7^1/4 के लिए 12वीं घात लीजिए: 3⁶ = 729, 5⁴ = 625, 7³ = 343। अतः क्रम वही है जैसा लिखा है।

बड़ी घातें

हर घातांक को उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दीजिए और घटे हुए आधारों की तुलना कीजिए। 2³⁶, 3²⁴, 5¹⁸, 7¹² सबमें गुणनखंड 6 है, जिससे आधार 64, 81, 125, 49 बनते हैं — अतः 5¹⁸ जीतता है।

करणियों के योग और अंतर

अंदर का योग समान हो: वर्ग कीजिए। (√p + √q)² = p + q + 2√(pq), अतः जो जोड़ी अधिक संतुलित हो वही बड़ी। p + q = 20 पर √10 + √10, √17 + √3 से बड़ा है।
फ़ासला समान हो: √p − √q = (p−q)/(√p + √q), अतः छोटी संख्याएँ बड़ा अंतर देती हैं। √8 − √4 > √35 − √31।

घात-मीनारें

a^{b^c} ऊपर से नीचे पढ़ी जाती है: 2^3² = 2⁹ = 512। पर (2³)² = 2⁶ = 64। कोष्ठक उत्तर पूरी तरह बदल देता है।

12. सन्निकटन वाले प्रश्न

पेपर आपको एक-दो मूल मान देता है और एक गंदा दिखने वाला व्यंजक पूछ लेता है। काम हमेशा यही है: पहले सरल कीजिए, फिर एक ही बार मान रखिए।

सजातीय करणियाँ इकट्ठी कीजिए: 3√20 − 2√45 + √125 = 6√5 − 6√5 + 5√5 = 5√5। अब बस एक गुणा बचा।
पहले परिमेयीकरण: 2/(√3 − 1) = √3 + 1 = 2.732 — दशमलव में भाग देने से कहीं सुरक्षित।
खिसकाव नियम: वर्गमूल के अंदर दो दशमलव स्थान बाहर एक स्थान बनते हैं। √1369 = 37 दिया हो तो: √13.69 = 3.7, √0.1369 = 0.37, √136900 = 370। घनमूल में अंदर तीन स्थान, बाहर एक।
छिपा गुणनखंड ढूँढिए: (√6 + √2)/(√3 + 1) = √2(√3 + 1)/(√3 + 1) = √2।

याद रखने योग्य मान √2 = 1.414 · √3 = 1.732 · √5 = 2.236 · √6 = 2.449 · √7 = 2.646 · √10 = 3.162

13. दस गलतियाँ जो अंक ले जाती हैं

योग पर घातांक। (2⁻¹ + 3⁻¹)⁻¹, 2 + 3 नहीं है। पहले कोष्ठक पूरा कीजिए।
0⁸ शून्य है, 1 नहीं। शून्य घातांक पर 1 केवल शून्येतर आधार देता है।
आधार का अपना घातांक भूलना। 8^1.5 = 2^4.5, क्योंकि 8 तो 2³ है।
घातांक घटाते समय दोहरा ऋण। b⁻³ ÷ b⁻⁴ = b¹ है, b⁻⁷ नहीं।
गुणांक का वर्ग। (3√2)² = 18 है, 6 नहीं।
मूल का क्रम। घनमूल के अंदर गुणनखंड घन बनकर जाता है; चौथे मूल से बाहर निकालने के लिए पूर्ण चौथी घात चाहिए।
विषम मूल का चिह्न। ³√(−27) = −3। पर बाद की सम घात चिह्न मिटा देती है: (−8)^2/3 = 4।
व्युत्क्रम असमिका उलट देते हैं। बड़ी करणी, छोटा व्युत्क्रम। पहले करणियों का क्रम लगाइए, फिर उलटिए।
प्रश्न पढ़ना। कई प्रश्न x हल कराते हैं पर पूछते हैं x², 2x या x − 5। विकल्पों में अधूरा मान हमेशा रखा होता है।
आँख से तुलना। ³√3 और √2 में 0.03 का अंतर है। हमेशा उभयनिष्ठ क्रम पर जाइए।

14. त्वरित पुनरावृत्ति शीट

स्थिति	क्या करें
अलग-अलग आधार	सबको एक अभाज्य की घात लिखें
दशमलव घातांक	आधार के घातांक से गुणा करें; कुल साफ निकलेगा
घातांक में अज्ञात	दोनों पक्ष एक आधार पर, फिर घातांक बराबर
a^x+k ± a^x = N	a^x का गुणनखंड निकालें
बंद घात शृंखला	घातांकों का गुणनफल = आधार का अंतिम घातांक
a^x = b^y = c^z	घातांकों के व्युत्क्रम उसी तरह जुड़ते हैं जैसे आधार गुणा होते हैं
हर में करणी	संयुग्मी से गुणा करें
√(a ± 2√b)	m + n = a, mn = b वाले m, n खोजें
अनंत धन-नेस्ट	x² = a + x; यदि a = n(n+1) तो उत्तर n+1
अलग क्रम की तुलना	LCM क्रम पर लाएँ
बड़ी घातों की तुलना	घातांकों को उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दें
सन्निकटन	पूरा सरल करें, अंत में एक बार मान रखें

15. अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

SSC CGL में इस अध्याय से कितने प्रश्न आते हैं?

आमतौर पर टियर 1 में दो से चार और टियर 2 में तीन से पाँच, यदि उन सरलीकरण प्रश्नों को भी गिनें जो असल में घातांक या करणी के ही प्रश्न हैं। पढ़ाई के प्रति घंटे के हिसाब से यह सबसे अधिक लौटाने वाले अध्यायों में है।

क्या ³√64 करणी है?

नहीं। यह ठीक-ठीक 4 है, अतः परिमेय संख्या है। कोई मूल तभी करणी होता है जब अंदर की संख्या उस क्रम की पूर्ण घात न हो।

a⁰ एक क्यों होता है?

भाग नियम से aⁿ ÷ aⁿ = a⁰। पर कोई भी शून्येतर संख्या अपने से भाग देने पर 1 देती है। अतः a⁰ = 1। a = 0 पर भाग की अनुमति ही नहीं, इसीलिए आधार शून्येतर होना चाहिए।

क्या करणियों की तुलना दशमलव अंदाज़े से की जा सकती है?

सुरक्षित नहीं। परीक्षा के विकल्प अक्सर ऐसे चुने जाते हैं कि दो विकल्प तीसरे दशमलव स्थान पर ही अलग हों। उभयनिष्ठ क्रम पर लाने में दस सेकंड लगते हैं और यह कभी धोखा नहीं देता।

क्या इस अध्याय के लिए लघुगणक चाहिए?

नहीं। इस अध्याय का हर SSC प्रश्न घातांक नियमों, अभाज्य गुणनखंडन और ऊपर दिए करणी नियमों से हल हो जाता है।

इस अध्याय का अभ्यास कीजिए

चैप्टर टेस्टघात, घातांक एवं करणी पर 300 प्रश्न, दो स्तरों में CGL पिछले वर्षअसली प्रश्न, शिफ्ट-दर-शिफ्ट CHSL पिछले वर्षवही अध्याय, थोड़ा आसान स्तर पूरे मॉक टेस्टसमय के दबाव में अभ्यास