SSC CGL, CHSL, CPO और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में बीजीय सूत्र अध्याय से जो कुछ पूछा जाता है — दो मूल वर्ग और उनसे बनने वाले चार पुल, वर्गों का अंतर, घन सर्वसमिकाएँ और उनका चिह्न नियम, तीन चर वाली सर्वसमिकाएँ तथा a + b + c = 0 शॉर्टकट, वर्ग पूरा करना और गुणनखंडन। चैप्टर टेस्ट में प्रयुक्त हर अवधारणा यहाँ शून्य से समझाई गई है।
बीजीय सर्वसमिकाएँ SSC संख्यात्मक अभियोग्यता के सबसे भरोसेमंद अंकों में से हैं। लगभग हर शिफ्ट में इस अध्याय से एक या दो प्रश्न आते हैं — कोई योग और गुणनफल जिसे घन बनाना है, तीन संख्याएँ जो चुपचाप शून्य में जुड़ जाती हैं, या कोई दशमलव भिन्न जो सही सर्वसमिका पहचानते ही सिमट जाती है। इनमें से किसी को भारी गणना नहीं चाहिए। हर एक को सही क्रम में लगाया गया एक नियम चाहिए, एक मिनट से भी कम में।
ये नोट्स हर नियम को शुरुआत से समझाते हैं — केवल क्या नहीं, बल्कि क्यों, क्योंकि “क्यों” ही आपको वह सर्वसमिका संभालने देता है जो आपने उस वेश में पहले कभी नहीं देखी। हर नियम के साथ एक हल किया उदाहरण, परीक्षा का शॉर्टकट और वह गलती है जो सबसे ज़्यादा अंक कटवाती है।
नोट्स विधि पक्की करते हैं; गति केवल अभ्यास से पक्की होती है। इन्हें एक टैब में और टेस्ट को दूसरे टैब में खुला रखें — इस विषय के चैप्टर टेस्ट से शुरू करें, फिर नियम स्वचालित लगने पर पूरे पेपर पर जाएँ।
इन नोट्स से मेल खाते दो स्तर। हर प्रश्न के साथ चरण-दर-चरण हल, हिंदी में भी।
अभ्यास शुरू करें चैप्टर टेस्टसाथी अध्याय। अभी सीखा घन नियम x + 1/x की घातों में सीधे काम आता है।
अभ्यास शुरू करें पिछले वर्षअसली शिफ्ट-वार CGL पेपर, उत्तर कुंजी और पूरे हल के साथ। क्या पूछा जाता है, इसका सबसे अच्छा मार्गदर्शक।
PYQ हल करें पिछले वर्षशिफ्ट-वार CHSL पेपर, हल सहित। CHSL, CPO और MTS सभी अभ्यर्थियों के लिए उपयोगी।
PYQ हल करें पूर्ण लंबाईअसली परीक्षा समय में पूर्ण-लंबाई पेपर, करेंट अफेयर्स और हर प्रयास के बाद विस्तृत हल।
मॉक टेस्ट देंइन नोट्स का उपयोग कैसे करें: एक खंड पढ़ें, उदाहरण को हाथ से ढकें, स्वयं हल करें, फिर जाँचें। जो नियम केवल पढ़ा है वह शाम तक भूल जाता है। जो नियम एक बार इस्तेमाल किया है वह रह जाता है।
इस अध्याय की हर सर्वसमिका दो पंक्तियों से निकलती है। इन्हें इतना पक्का कर लें कि बिना रुके लिख सकें, क्योंकि बाकी पूरा अध्याय इन्हीं दो का पुनर्विन्यास है।
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
केवल बीच वाला चिह्न बदलता है। दोनों में किनारे के पद धनात्मक ही रहते हैं, क्योंकि कोई वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता।
सर्वसमिका (identity) वह कथन है जो अक्षरों के हर मान के लिए सत्य होता है। इसीलिए इस अध्याय में आपसे x निकालने को लगभग कभी नहीं कहा जाता — आपसे कहा जाता है कि अक्षरों का मान जाने बिना एक व्यंजक से दूसरा व्यंजक बना दीजिए।
उन्हीं दो पंक्तियों को पलटने से चार परिणाम मिलते हैं, जिन पर अध्याय का अधिकांश भाग टिका है।
| आपको दिया है | आपको चाहिए | प्रयोग करें |
|---|---|---|
| a + b और ab | a2 + b2 | (a + b)2 − 2ab |
| a − b और ab | a2 + b2 | (a − b)2 + 2ab |
| a + b और a2 + b2 | ab | [(a + b)2 − (a2 + b2)] ÷ 2 |
| a − b और a2 + b2 | ab | [(a2 + b2) − (a − b)2] ÷ 2 |
यदि a + b = 8 और ab = 15 है, तो a2 + b2 ज्ञात कीजिए।
= 82 − 2(15) = 64 − 30 = 34।
जाँच: योग 8 और गुणनफल 15 से संख्याएँ 5 और 3 बनती हैं, और 25 + 9 = 34।
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
जोड़ने पर बीच के पद कट जाते हैं, इसलिए गुणनफल हल में आता ही नहीं। घटाने पर वर्ग कट जाते हैं और केवल गुणनफल बचता है।
जोड़ें → गुणनफल गायब। घटाएँ → केवल गुणनफल बचे। यदि प्रश्न में दोनों वर्ग कोष्ठक दिए हों, तो a या b अलग-अलग निकालने की कभी ज़रूरत नहीं।
गुणांक भी अचर में गुणा होते हैं। (3a + 5b) और (3a − 5b) के लिए वर्गों का अंतर 4 × 3a × 5b = 60ab है, 4ab नहीं। यदि प्रश्न आगे साधारण गुणनफल ab माँगे, तो गुणांक वापस भाग दीजिए।
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
यह अध्याय की सबसे उपयोगी एक पंक्ति है, क्योंकि यह घटाव को गुणा में बदल देती है — और गुणा प्रश्न में मौजूद किसी और चीज़ से कट जाता है।
जब भी दो वर्गों के बीच ऋण चिह्न दिखे, कोई भी वर्ग निकालिए मत। पहले गुणनखंड बनाइए और देखिए कि क्या कटता है।
[(213)2 − (187)2] ÷ 26 ज्ञात कीजिए।
योग = 400, अंतर = 26, अतः अंश 400 × 26 है।
26 कट जाता है और उत्तर 400 है। भाजक वहाँ रखा ही इसीलिए गया था कि एक गुणनखंड काट दे।
सर्वसमिका का हर प्रयोग घात को दोगुना करता है, इसलिए लंबा गुणनफल तेज़ी से समिट जाता है।
(x − y)(x + y) = x2 − y2
(x2 − y2)(x2 + y2) = x4 − y4
(x4 − y4)(x4 + y4) = x8 − y8
यदि श्रृंखला (2 + 1) से शुरू हो और आगे (2 − 1) न हो, तो उसे स्वयं जोड़ लीजिए — वह 1 के बराबर है, इसलिए कुछ बदलता नहीं पर श्रृंखला चालू हो जाती है।
यदि (2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) = 2n − 1 है, तो n ज्ञात कीजिए।
(2 − 1) = 1 से गुणा कीजिए। श्रृंखला 216 − 1 पर सिमट जाती है, अतः n = 16।
a और b स्वयं कोष्ठक हो सकते हैं। (x + 1)2 − (2x − 3)2 के लिए:
योग = (x + 1) + (2x − 3) = 3x − 2
अंतर = (x + 1) − (2x − 3) = x + 1 − 2x + 3 = 4 − x
अतः गुणनखंड (3x − 2)(4 − x) हैं।
कोष्ठक घटाने पर उसके भीतर का हर चिह्न पलटता है। यही एक चूक पूरे अध्याय की सबसे आम गलती है। ऋण चिह्न पूरा लिखिए और एक-एक पद का चिह्न बदलिए।
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b)
पुनः व्यवस्थित करने पर वे रूप मिलते हैं जो परीक्षा में वास्तव में काम आते हैं:
a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
a3 − b3 = (a − b)3 + 3ab(a − b)
योग में सुधार पद घटता है; अंतर में जुड़ता है। यही एक वाक्य दोनों घन प्रश्नों को ढक लेता है, और यही वाक्य व्युत्क्रम-घात वाले अध्याय में फिर लौटता है।
यदि a + b = 9 और ab = 14 है, तो a3 + b3 ज्ञात कीजिए।
= 729 − 3(14)(9) = 729 − 378 = 351।
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
जब किसी भिन्न में घन ऊपर और त्रिपद नीचे हो, तब इसी का प्रयोग कीजिए — लंबा कोष्ठक कट जाता है और केवल सरल कोष्ठक बचता है।
घनों के योग के लंबे कोष्ठक में ऋण चिह्न होता है। घनों के अंतर में सभी चिह्न धन होते हैं। यह अधिकांश विद्यार्थियों की अपेक्षा के ठीक उलटा है, इसलिए हर बार जाँचिए।
[(5.2)3 + (2.8)3] ÷ [(5.2)2 − 5.2×2.8 + (2.8)2] ज्ञात कीजिए।
हर ठीक घन-योग का लंबा कोष्ठक है, अतः वह कट जाता है।
उत्तर = 5.2 + 2.8 = 8। कोई घन कभी निकाला ही नहीं गया।
छिपा हुआ घन पहचानिए: 8x3 = (2x)3, 27y3 = (3y)3, 64a3 = (4a)3, 125p3 = (5p)3।
उदाहरण. यदि 3m + 2n = 7 और 27m3 + 8n3 = 91 है, तो mn ज्ञात कीजिए।
P = 3m और Q = 2n लेने पर: 91 = 343 − 21PQ, अतः PQ = 12। पर PQ = 6mn, इसलिए mn = 2।
गुणांक वापस भाग दीजिए। PQ, mn नहीं है। गुणांक वाले घन प्रश्नों में आधे अंक PQ को ही अंतिम उत्तर लिख देने से जाते हैं।
जब तीन अक्षर आते हैं, तब तीन राशियाँ महत्वपूर्ण होती हैं: कुल योग a + b + c, वर्गों का योग a2 + b2 + c2, और युग्म-योग ab + bc + ca। एक ही सर्वसमिका तीनों को जोड़ती है।
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
तीनों में से कोई दो दिए हों, तो तीसरी सदैव निकाली जा सकती है। प्रश्नों के एक बड़े समूह के लिए इससे अधिक कुछ नहीं चाहिए।
यदि a + b + c = 12 और a2 + b2 + c2 = 50 है, तो ab + bc + ca ज्ञात कीजिए।
144 = 50 + 2(ab + bc + ca), अतः 2(ab + bc + ca) = 94 और उत्तर 47 है।
अंत में आधा करना याद रखिए — 94 विकल्प में सदैव दिया जाता है।
(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 = 2(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है। यदि दायाँ पक्ष शून्य हो, तो तीन वर्ग मिलकर शून्य होते हैं। कोई वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए प्रत्येक शून्य होना चाहिए — और इससे a = b = c बाध्य हो जाता है।
जो प्रश्न आपको a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca देता है, वह वास्तव में यह बता रहा है कि तीनों अक्षर बराबर हैं। परीक्षक इसे हर पद को दोगुना करके, या दोनों पक्षों को अलग-अलग बराबर संख्याओं के रूप में देकर छिपाते हैं। शब्द नहीं, रूप पहचानिए।
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca)
इसे दो चीज़ों का गुणनफल मानकर पढ़िए। घन व्यंजक और एक गुणनखंड दिया हो तो भाग देकर दूसरा निकालिए; दोनों गुणनखंड दिए हों तो गुणा कीजिए। a, b या c के अलग-अलग मान कभी नहीं चाहिए।
यदि a + b + c = 0 हो, तो पहला गुणनखंड शून्य है, अतः a3 + b3 + c3 = 3abc।
दी गई तीन संख्याओं का योग शून्य है या नहीं, यह सदैव जाँचिए। यह अध्याय की सबसे तेज़ जीत है।
[(1.2)3 + (2.3)3 − (3.5)3] ÷ [1.2 × 2.3 × 3.5] ज्ञात कीजिए।
अंश को (1.2)3 + (2.3)3 + (−3.5)3 लिखिए। चूँकि 1.2 + 2.3 − 3.5 = 0 है, यह 3 × 1.2 × 2.3 × (−3.5) के बराबर है।
हर से काटने पर −3 बचता है।
चिह्न पर ध्यान दीजिए। घटाया गया घन गुणनफल को ऋणात्मक बनाता है, जबकि हर धनात्मक रहता है। +3 विकल्प में सदैव रहता है।
यह शर्त उल्टी दिशा में भी चलती है। यदि a3 + b3 + c3 = 3abc हो और कुल योग शून्य न हो, तो दूसरा गुणनखंड शून्य होना चाहिए, अर्थात a = b = c।
↑ ऊपर जाएँजब एक ही समीकरण में दो अज्ञात हों, तो वह लगभग सदैव छिपा हुआ वर्गों का योग होता है। उसे वर्गों और एक शेष के रूप में लिखिए और मान सीधे पढ़ लीजिए।
यदि a2 + b2 + 2a − 4b + 5 = 0 है, तो ab ज्ञात कीजिए।
a2 + 2a + 1 = (a + 1)2 अचर में से 1 लेता है।
b2 − 4b + 4 = (b − 2)2 4 लेता है। दोनों मिलकर ठीक 5 का उपयोग करते हैं।
अतः (a + 1)2 + (b − 2)2 = 0, जिससे a = −1 और b = 2, इसलिए ab = −2।
यही तरकीब न्यूनतम मान भी देती है। व्यंजक को वर्गों और एक शेष के रूप में लिखिए; शेष ही न्यूनतम मान है, क्योंकि दोनों वर्ग एक साथ शून्य किए जा सकते हैं।
उदाहरण. 9x2 + y2 + 12x − 8y + 25 = (3x + 2)2 + (y − 4)2 + 5, अतः न्यूनतम मान 5 है।
गुणांक कोष्ठक बदल देता है। 9x2 + 12x + 4 में कोष्ठक (3x + 2) है, (x + 2) नहीं। और न्यूनतम-मान वाले प्रश्न में 0 सदैव विकल्प में होता है — वर्ग शून्य हो सकते हैं, पर शेष कभी नहीं जाता।
जब चार पद हों और उनमें से तीन वर्ग जैसे दिखें, तो पहले उन तीन का समूह बनाइए।
x2 + 6x + 9 − y2 = (x + 3)2 − y2 = (x + 3 + y)(x + 3 − y)
वही दृष्टि लंबे व्यंजक में छिपा पूरा घन भी पकड़ती है: x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)3।
अंश और हर दोनों का पूरा गुणनखंड कीजिए, फिर केवल वही कोष्ठक काटिए जो दोनों में हों।
(a3 + 8) ÷ (a2 − 4) = (a + 2)(a2 − 2a + 4) ÷ (a + 2)(a − 2) = (a2 − 2a + 4) ÷ (a − 2)
जोड़ या घटाव के आर-पार कभी नहीं काटा जा सकता। केवल वही पूरा कोष्ठक कट सकता है जो बाकी सबसे गुणा हो रहा हो। योग में से अकेला पद काट देना गलत विकल्प तक पहुँचने का सबसे तेज़ रास्ता है।
ठीक उन्हीं रूपों में छह प्रश्न जिनमें SSC पूछता है। हल को ढककर पहले स्वयं कीजिए, फिर जाँचिए।
यदि u + v = 9 और uv = 14 है, तो u3 + v3 − u2 − v2 ज्ञात कीजिए।
घन: 729 − 378 = 351। वर्ग: 81 − 28 = 53।
उत्तर: 351 − 53 = 298। हर भाग अपने नियम से बनाइए, फिर जोड़िए-घटाइए।
यदि a3 + b3 + c3 − 3abc = 108 और a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 12 है, तो a + b + c ज्ञात कीजिए।
सर्वसमिका कहती है कि पहला, कुल योग और दूसरे का गुणनफल है, अतः 108 = (a+b+c) × 12 और कुल योग 9 है।
96 विकल्प में दिया जाएगा — वह 108 − 12 है। सर्वसमिका गुणा करती है, इसलिए कोई गुणनखंड निकालने के लिए भाग देना होगा।
यदि x + 1/x = 1 है, तो x3 + 1/x3 ज्ञात कीजिए।
k3 − 3k = 1 − 3 = −2।
कोई वास्तविक संख्या x + 1/x = 1 को संतुष्ट नहीं करती, क्योंकि वास्तविक x के लिए वह व्यंजक कम से कम 2 या अधिक से अधिक −2 होता है। सर्वसमिका फिर भी वैध है और मान तय कर देती है — हल में कहीं यह नहीं माना गया कि x वास्तविक है। SSC ऐसे प्रश्न जान-बूझकर पूछता है।
यदि p3 + q3 + 3pq = 1 है तथा p और q धनात्मक हैं, तो p + q ज्ञात कीजिए।
1 को −(−1)3 लिखिए। समीकरण बनता है p3 + q3 + (−1)3 − 3(p)(q)(−1) = 0।
अतः या तो p + q − 1 = 0, जिससे p + q = 1, या p = q = −1, जिसे धनात्मक शब्द हटा देता है।
जब प्रश्न में “धनात्मक” या “x > 1” जैसी शर्त जोड़ी जाए, तो वह लगभग सदैव दो शाखाओं में से एक को हटाने के लिए होती है। उसकी अनदेखी मत कीजिए।
यदि 4x3 + 32y3 = 432 और x + 2y = 6 है, तो xy ज्ञात कीजिए।
4 से भाग दीजिए: x3 + 8y3 = 108। P = x और Q = 2y लेने पर 108 = 216 − 18PQ, अतः PQ = 6।
PQ = 2xy, इसलिए xy = 3। एक ही प्रश्न में दो रूपांतरण, और दोनों भूलना आसान है।
यदि 3a + 5b = 14 और 9a2 + 25b2 = 148 है, तो 3a − 5b का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए।
(P − Q)2 = 2(P2 + Q2) − (P + Q)2 = 296 − 196 = 100, अतः उत्तर 10 है। गुणनफल हल में आता ही नहीं।
| सर्वसमिका | कब प्रयोग करें | किससे बचें |
|---|---|---|
| (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 | योग/अंतर और वर्गों के बीच आना-जाना | केवल बीच का चिह्न बदलता है |
| (a+b)2 − (a−b)2 = 4ab | दो कोष्ठकों से गुणनफल चाहिए | गुणांक भी 4 में गुणा होते हैं |
| (a+b)2 + (a−b)2 = 2(a2+b2) | गुणनफल अज्ञात है और चाहिए भी नहीं | आधा करना याद रखें |
| a2 − b2 = (a+b)(a−b) | बड़ी संख्याएँ, दशमलव, श्रृंखलाएँ | कोष्ठक घटाने पर सभी चिह्न पलटते हैं |
| a3 + b3 = (a+b)3 − 3ab(a+b) | योग और गुणनफल से घन चाहिए | योग घटाता है, अंतर जोड़ता है |
| a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2) | कटने वाली घन भिन्नें | योग → भीतर ऋण; अंतर → सभी धन |
| (a+b+c)2 = Σa2 + 2Σab | कुल/वर्ग/युग्म में से कोई दो | घटाने के बाद आधा कीजिए |
| Σa2 = Σab ⇒ a = b = c | शर्त में बराबरी छिपी हो | प्रायः दोगुना करके छिपाया जाता है |
| a+b+c = 0 ⇒ Σa3 = 3abc | तीन संख्याओं का योग शून्य | हर घन का चिह्न जाँचिए |
| Σa3 − 3abc = (Σa)(Σa2 − Σab) | एक गुणनखंड दिया, दूसरा चाहिए | भाग दीजिए, घटाइए नहीं |
इस अध्याय में मुश्किल से दस सर्वसमिकाएँ हैं, और हर प्रश्न उन्हीं में से एक है जो कोई वेश धारण किए हुए है — कोई गुणांक, कोई खिसका हुआ कोष्ठक, कोई दशमलव, या उलटी दिशा। वेश उतारना सीख लीजिए, अध्याय छोटा हो जाएगा।
↑ ऊपर जाएँदो वर्ग (a ± b)2, वर्गों का अंतर a2 − b2 = (a+b)(a−b), घन के दो रूप a3 ± b3, वर्गित कुल (a+b+c)2, और घन सर्वसमिका a3+b3+c3 − 3abc। कुल मिलाकर लगभग दस पंक्तियाँ पूछे जाने वाले लगभग हर प्रश्न को ढक लेती हैं।
a3 + b3 = (a+b)3 − 3ab(a+b) का प्रयोग कीजिए। योग का घन कीजिए, फिर गुणनफल और योग के तीन गुने को घटाइए। अंतर के लिए सुधार पद घटाया नहीं, जोड़ा जाता है।
घन सर्वसमिका सिमट जाती है और a3 + b3 + c3 = 3abc हो जाता है। जब भी प्रश्न में तीन संख्याओं या तीन कोष्ठकों का योग शून्य हो, यह लंबी गणना को एक गुणा में बदल देता है।
यही कि a = b = c। यह शर्त कहने के बराबर है कि तीन वर्ग किए गए अंतरों का योग शून्य है, और कोई वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए हर अंतर शून्य होना चाहिए। परीक्षक इसे प्रायः हर पद दोगुना करके छिपाते हैं।
क्योंकि वह बाहर के चिह्न का उल्टा होता है। घनों का योग लंबे कोष्ठक में ऋण के साथ गुणनखंडित होता है, और अंतर सभी धन के साथ। याददाश्त पर भरोसा करने के बजाय हर बार जाँच लीजिए।
यहाँ एक खंड पूरा करने के बाद TrickySSC पर मेल खाता बीजीय सूत्र अभ्यास टेस्ट दें। टेस्ट दो स्तरों में हैं, और हर प्रश्न के साथ अंग्रेज़ी और हिंदी में चरण-दर-चरण हल है।
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