SSC CGL, CHSL, CPO और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में बीजीय परिणाम अध्याय से जो कुछ पूछा जाता है — वह सीढ़ी जो x + 1/x को किसी भी घात तक ले जाती है, घन और छठी घात के नियम, वे घातें जहाँ सीढ़ी नहीं पहुँचती, वे पाँच वेश जो व्युत्क्रम जोड़ी को छिपाते हैं, और वे चिह्न व परास नियम जो अंतिम उत्तर तय करते हैं। चैप्टर टेस्ट में प्रयुक्त हर अवधारणा यहाँ शून्य से समझाई गई है।
x + 1/x वाला परिवार SSC संख्यात्मक अभियोग्यता में अंकों का सबसे अनुमानित स्रोत है। लगभग हर शिफ्ट में इससे एक प्रश्न आता है — कोई व्युत्क्रम योग जिसे घन बनाना है, कोई द्विघात जो जोड़ी को छिपाए है, कोई करणी मान जो पार जाते ही पूर्णांक बन जाता है, या इतनी बड़ी घात कि केवल कोई चक्र ही वहाँ पहुँच सके। इनमें से किसी को भारी गणना नहीं चाहिए। हर एक एक छोटी सीढ़ी पर ऊपर या नीचे की चाल भर है।
ये नोट्स हर नियम को शुरुआत से समझाते हैं — केवल क्या नहीं, बल्कि क्यों, क्योंकि “क्यों” ही आपको वह वेश संभालने देता है जो आपने पहले नहीं देखा। हर नियम के साथ एक हल किया उदाहरण, परीक्षा का शॉर्टकट और वह गलती है जो सबसे ज़्यादा अंक कटवाती है।
नोट्स विधि पक्की करते हैं; गति केवल अभ्यास से पक्की होती है। इन्हें एक टैब में और टेस्ट को दूसरे टैब में खुला रखें — इस विषय के चैप्टर टेस्ट से शुरू करें, फिर नियम स्वचालित लगने पर पूरे पेपर पर जाएँ।
इन नोट्स से मेल खाते दो स्तर। हर प्रश्न के साथ चरण-दर-चरण हल, हिंदी में भी।
अभ्यास शुरू करें चैप्टर टेस्टसाथी अध्याय। इस सीढ़ी के पीछे की सर्वसमिकाएँ वहाँ पूरी तरह दी गई हैं।
अभ्यास शुरू करें पिछले वर्षअसली शिफ्ट-वार CGL पेपर, उत्तर कुंजी और पूरे हल के साथ। क्या पूछा जाता है, इसका सबसे अच्छा मार्गदर्शक।
PYQ हल करें पिछले वर्षशिफ्ट-वार CHSL पेपर, हल सहित। CHSL, CPO और MTS सभी अभ्यर्थियों के लिए उपयोगी।
PYQ हल करें पूर्ण लंबाईअसली परीक्षा समय में पूर्ण-लंबाई पेपर, करेंट अफेयर्स और हर प्रयास के बाद विस्तृत हल।
मॉक टेस्ट देंइन नोट्स का उपयोग कैसे करें: एक खंड पढ़ें, उदाहरण को हाथ से ढकें, स्वयं हल करें, फिर जाँचें। जो नियम केवल पढ़ा है वह शाम तक भूल जाता है। जो नियम एक बार इस्तेमाल किया है वह रह जाता है।
यह पूरा अध्याय प्रश्नों का एक ही परिवार है। आपको x और उसके व्युत्क्रम 1/x के बारे में कुछ दिया जाता है, और उसी जोड़ी की कोई ऊँची घात पूछी जाती है। नियमों की एक छोटी सीढ़ी आपको एक बार में एक स्तर ऊपर या नीचे ले जाती है।
x × (1/x) = 1
चूँकि यह गुणनफल ठीक 1 है, हर प्रसार का हर मध्य पद किसी अज्ञात के बजाय एक सादी संख्या — 2 या 3 — बन जाता है। यही पूरा कारण है कि यह अध्याय इतना छोटा है।
x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 − 2
x2 + 1/x2 = (x − 1/x)2 + 2
दिए गए कोष्ठक का वर्ग कीजिए, फिर 2 से समायोजन कीजिए।
योग → 2 घटाइए। अंतर → 2 जोड़िए। यही एक वाक्य अध्याय के बड़े हिस्से को ढक लेता है, और यही पैटर्न घनों के लिए भी लौटता है।
सर्वसमिका को इससे मतलब नहीं कि भीतर क्या बैठा है। x की जगह x2 रखिए, वह फिर भी काम करती है — इसलिए हर वर्ग करना घात को दोगुना कर देता है:
x + 1/x → x2 + 1/x2 → x4 + 1/x4 → x8 + 1/x8, हर बार 2 घटाते हुए।
यदि x + 1/x = 3 है, तो x8 + 1/x8 ज्ञात कीजिए।
9 − 2 = 7, फिर 49 − 2 = 47, फिर 2209 − 2 = 2207।
−2 हर चरण पर लगता है, केवल पहले पर नहीं। इस अध्याय के अधिकांश गलत विकल्प केवल वही मान होते हैं जो उत्तर से एक चरण पीछे है।
उल्टा चलाइए: 2 जोड़िए और वर्गमूल लीजिए।
उदाहरण. यदि x4 + 1/x4 = 47 और x > 0 हो, तो 47 + 2 = 49 से x2 + 1/x2 = 7, और 7 + 2 = 9 से x + 1/x = 3।
यदि योग चाहिए तो 2 जोड़िए; यदि अंतर चाहिए तो 2 घटाइए। ऊपर का स्तर दोनों में एक ही रहता है — केवल अंतिम चरण बदलता है।
√x और 1/√x का गुणनफल भी 1 है, इसलिए वे एक सामान्य जोड़ी हैं। उनका वर्ग करने पर x और 1/x मिलते हैं।
उदाहरण. यदि √x + 1/√x = 4 हो, तो x + 1/x = 16 − 2 = 14।
x3 + 1/x3 = k3 − 3k, जहाँ k = x + 1/x
x3 − 1/x3 = k3 + 3k, जहाँ k = x − 1/x
यह साधारण घन सर्वसमिका (a+b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) ही है, जहाँ ab = 1 है। सुधार पद 3ab(a+b) सिमटकर 3k बन जाता है, इसीलिए नियम इतना छोटा है।
योग में 3k घटता है; अंतर में 3k जुड़ता है। ठीक वही पैटर्न जो वर्गों में था — योग घटाते हैं, अंतर जोड़ते हैं।
यदि x + 1/x = 4: 64 − 12 = 52।
यदि x − 1/x = 4: 64 + 12 = 76।
छठी घात घन का वर्ग है, इसलिए इसमें दो चाल लगती हैं, पाँच नहीं।
उदाहरण. यदि x + 1/x = 4 हो, तो घन 52 है, और x6 + 1/x6 = 522 − 2 = 2702।
यदि जिस घन का वर्ग किया वह अंतर था, तो समायोजन पलटकर +2 हो जाता है, क्योंकि आप अंतर वाले कोष्ठक का वर्ग कर रहे हैं।
घन के बजाय दूसरी घात के रास्ते जाने पर तीन चरण लगते हैं और प्रायः गलती से x4 + 1/x4 निकल आता है — जो सदैव विकल्पों में रहता है।
3 से ऊपर की विषम घातें दोगुना करने वाली सीढ़ी पर नहीं आतीं। उन्हें दो स्तरों को गुणा करके और बचा हुआ हटाकर बनाइए।
(x2+1/x2)(x3+1/x3) = x5+1/x5 + x + 1/x
(x3+1/x3)(x4+1/x4) = x7+1/x7 + x + 1/x
स्तर m और n को गुणा करने पर स्तर m+n और स्तर m−n बनते हैं। अतः 2×3 से 5 और 1; 3×4 से 7 और 1। छोटा स्तर घटाइए और वही बचेगा जो चाहिए।
यदि x + 1/x = 3 है, तो x5 + 1/x5 ज्ञात कीजिए।
स्तर 2 = 7, स्तर 3 = 18। फिर 7 × 18 − 3 = 126 − 3 = 123।
सादा गुणनफल सदैव विकल्प में होता है। यहाँ 126 दिया जाता है। बचा हुआ स्तर घटाना ही होगा।
अधिकांश कठिन प्रश्न आपको x + 1/x सीधे नहीं देते। वे उसे छिपाते हैं। SSC ये पाँच वेश काम में लाता है।
यदि समीकरण का अचर पद 1 हो, तो हर पद को x से भाग दीजिए।
x2 − 9x + 1 = 0 → x − 9 + 1/x = 0 → x + 1/x = 9।
अचर +1 हो तो योग; अचर −1 हो तो अंतर। कुछ भी लिखने से पहले अचर देख लीजिए।
यदि समीकरण में उभयनिष्ठ गुणनखंड हो (5x2 + 5 = 40x), तो पहले पूरे समीकरण को उससे भाग दीजिए ताकि अचर 1 बन जाए। यदि वह उलटे क्रम में लिखा हो (x2 = 8x − 1), तो पहले व्यवस्थित कीजिए।
उसे तोड़िए। (x2+1)/x वास्तव में x + 1/x ही है, एक पंक्ति में लिखा हुआ, और (x4+1)/x2, x2 + 1/x2 है।
उदाहरण. (x2 + 3x + 1)/x = 7 टूटकर x + 3 + 1/x = 7 बनता है, अतः x + 1/x = 4।
परिमेयकरण कीजिए। जब संयुग्मियों का गुणनफल 1 हो, तो व्युत्क्रम स्वयं संयुग्मी ही होता है, और जोड़ने पर मूल कट जाते हैं।
उदाहरण. x = 5 + 2√6। चूँकि 25 − 24 = 1, इसलिए 1/x = 5 − 2√6, अतः x + 1/x = 10।
जिस भी जोड़ी का गुणनफल 1 हो, वह ठीक x और 1/x की तरह व्यवहार करती है। उसे u नाम दीजिए और आगे बढ़िए।
खिसके हुए कोष्ठक में पहले अचर दूसरी ओर ले जाइए। x + 1/(x − 3) = 10 में से 3 घटाकर (x − 3) + 1/(x − 3) = 7 बनाइए। 10 को सीधे प्रयोग करना आम गलती है, और उससे बनने वाला गलत उत्तर सदैव विकल्प में होता है।
x = 1/(x − 4) → x2 − 4x − 1 = 0 → x से भाग → x − 1/x = 4।
अचर पद अंश भी तय करता है: x = 2/(x − 3) से x − 2/x = 3 मिलता है।
(x − 1/x)2 = (x + 1/x)2 − 4
दोनों वर्ग कोष्ठकों के बीच का अंतर सदैव 4 होता है। इसी से करणी वाला दिया गया पूर्णांक में बदल सकता है।
उदाहरण. x + 1/x = √29 से (x − 1/x)2 = 29 − 4 = 25, अतः अंतर 5 है।
वर्गमूल के दो चिह्न होते हैं। प्रश्न सदैव बताता है कि कौन-सा लेना है।
| शर्त | तब x − 1/x |
|---|---|
| x > 1 | धनात्मक (x बड़ा पद है) |
| 0 < x < 1 | ऋणात्मक (1/x बड़ा है) |
| x < −1 | ऋणात्मक |
किसी वर्ग और उसके व्युत्क्रम का योग, जैसे x2 + 1/x2, x चाहे कुछ भी हो, सदैव धनात्मक होता है। इसलिए सीढ़ी से नीचे उतरते समय बीच का मूल सदैव धनात्मक होता है — केवल अंतिम चरण, जो अंतर तक जाता है, परास देखता है। इन दोनों को मिला देना कठिन प्रश्नों की सबसे आम गलती है।
वास्तविक x के लिए x + 1/x कम से कम 2 या अधिक से अधिक −2 होता है। इसलिए 1 या −1 दिया गया मान वास्तविक हल नहीं रखता — पर सर्वसमिका फिर भी उत्तर तय कर देती है, और SSC ऐसे प्रश्न जान-बूझकर पूछता है।
उदाहरण. x + 1/x = 1 से x3 + 1/x3 = 1 − 3 = −2।
दूसरे छोर पर, k = 2 से x = 1 बाध्य होता है, अतः हर घात 2 ही रहती है। यह एक उपयोगी जाँच है।
जब घात बहुत बड़ी हो (x50, x99), कोई सीढ़ी वहाँ नहीं पहुँचेगी। इसके बजाय दोहराव खोजिए।
x2 + x + 1 = 0 ⇒ x3 = 1 — घातें हर 3 पर दोहराती हैं
x2 − x + 1 = 0 ⇒ x3 = −1, अतः x6 = 1 — हर 6 पर दोहराव
यदि x2 + x + 1 = 0 है, तो x99 + 1/x99 ज्ञात कीजिए।
99, 3 का गुणज है, अतः x99 = 1 और उत्तर 2 है।
x100 के लिए शेष 1 है, इसलिए वह x + 1/x पर सिमट जाता है, जो −1 है।
यदि 9(x2 + 1/x2) = 306 और x > 0 है, तो x + 1/x ज्ञात कीजिए।
पहले 9 हटाइए: x2 + 1/x2 = 34। फिर 34 + 2 = 36, अतः उत्तर 6 है।
यदि x2 + 1 = 9x है, तो x4 + 1/x4 ज्ञात कीजिए।
व्यवस्थित करके भाग दीजिए: x + 1/x = 9। फिर 81 − 2 = 79, और 792 − 2 = 6239।
यदि x2 + 1/x2 = 27 और 0 < x < 1 है, तो x − 1/x ज्ञात कीजिए।
27 − 2 = 25, अतः आकार 5 है। पर x छोटा और 1/x बड़ा है, इसलिए उत्तर −5 है।
यदि x + 1/x = √13 और x > 1 है, तो x3 − 1/x3 ज्ञात कीजिए।
पार जाइए: 13 − 4 = 9, अतः x − 1/x = 3। फिर 27 + 9 = 36।
करणी इसलिए हट जाती है क्योंकि 13 इसी तरह चुना गया कि 13 − 4 पूर्ण वर्ग बने।
यदि x − 1/x = 3 और x > 0 है, तो x4 − 1/x4 ज्ञात कीजिए।
x2 + 1/x2 = 11, और (x + 1/x)2 = 9 + 4 = 13, अतः x + 1/x = √13।
x2 − 1/x2 = 3√13, इसलिए उत्तर 3√13 × 11 = 33√13 है।
सम घातों का कोई भी अंतर गुणनखंडित होता है: x4 − 1/x4 = (x − 1/x)(x + 1/x)(x2 + 1/x2)। हर कोष्ठक बनाइए और गुणा कीजिए।
यदि x + 5/x = 6 है, तो (x2 + 9x + 5) ÷ (x2 + 4x + 5) ज्ञात कीजिए।
अंश और हर को x से भाग दीजिए: (x + 9 + 5/x) ÷ (x + 4 + 5/x) = (6 + 9) ÷ (6 + 4) = 15/10 = 3/2।
हर द्विघात में अचर 5 ही 5/x बनाता है, जो दिए गए से ठीक मेल खाता है।
| नियम | दिया → चाहिए | किससे बचें |
|---|---|---|
| x2+1/x2 = k2 − 2 | योग → अगला स्तर | −2 हर चरण पर, केवल पहले पर नहीं |
| x2+1/x2 = k2 + 2 | अंतर → अगला स्तर | अंतर जोड़ता है; योग घटाता है |
| 2 जोड़कर वर्गमूल | वापस नीचे आना | अंतर चाहिए तो 2 घटाइए |
| x3+1/x3 = k3 − 3k | योग → घन | 3k छूट जाना आसान है |
| x3−1/x3 = k3 + 3k | अंतर → घन | यहाँ सुधार जुड़ता है |
| घन का वर्ग | → छठी घात | दो चाल, पाँच नहीं |
| स्तर m × स्तर n | → स्तर m+n और m−n | बचा हुआ स्तर घटाइए |
| (x−1/x)2 = (x+1/x)2 − 4 | योग ↔ अंतर पार जाना | करणी को पूर्णांक बना सकता है |
| द्विघात को x से भाग | समीकरण → सीढ़ी | अचर 1 होना चाहिए; पहले गुणनखंड हटाइए |
| x3 = 1 या −1 | बहुत बड़ी घातें | चक्र से घातांक घटाइए |
इस अध्याय का हर प्रश्न एक ही सीढ़ी पर ऊपर या नीचे की चाल है, जो पाँच वेशों में से कोई एक धारण किए हुए है। सीढ़ी सीख लीजिए, वेश पहचान लीजिए, अध्याय पूरा हो गया।
↑ ऊपर जाएँदिए गए मान का वर्ग कीजिए और 2 घटाइए। यदि दिया गया अंतर हो, तो वर्ग करके 2 जोड़िए। समायोजन सदैव ठीक 2 का होता है, क्योंकि x × 1/x = 1 है।
k3 − 3k, जहाँ k = x + 1/x। अंतर के लिए यह k3 + 3k है, जहाँ k = x − 1/x। योग में सुधार घटता है, अंतर में जुड़ता है।
वे दोगुना करने वाली सीढ़ी पर नहीं हैं। दो स्तरों को गुणा कीजिए और बचा हुआ घटाइए: स्तर 2 गुणा स्तर 3 से स्तर 5 और स्तर 1 मिलते हैं, और स्तर 3 गुणा स्तर 4 से स्तर 7 और स्तर 1।
जब 0 < x < 1 हो, क्योंकि तब 1/x बड़ा पद होता है। x < −1 पर भी वह ऋणात्मक है। x2 + 1/x2 जैसा योग सदैव धनात्मक रहता है, इसलिए केवल अंतिम चरण, जो अंतर तक जाता है, परास पर निर्भर करता है।
चक्र खोजिए। x2 + x + 1 = 0 का अर्थ है x3 = 1, अतः घातें हर 3 पर दोहराती हैं। x2 − x + 1 = 0 का अर्थ है x3 = −1 और x6 = 1, अतः हर 6 पर। घातांक को चक्र से घटाइए और जो स्तर बचे उसका मान निकालिए।
यहाँ एक खंड पूरा करने के बाद TrickySSC पर मेल खाता बीजीय परिणाम अभ्यास टेस्ट दें। टेस्ट दो स्तरों में हैं, और हर प्रश्न के साथ अंग्रेज़ी और हिंदी में चरण-दर-चरण हल है।
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