SSC CGL, CHSL, CPO और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में दशमलव और भिन्न अध्याय से जो कुछ पूछा जाता है — सांत और आवर्ती दशमलव, 9 और 0 वाला नियम क्यों काम करता है, भिन्नों की तुलना और क्रम, निरंतर भिन्न (continued fraction), 99 प्रकार के गुणनफल और भिन्न के हर शब्द-प्रश्न पैटर्न। चैप्टर टेस्ट में प्रयुक्त हर अवधारणा यहाँ शून्य से समझाई गई है।
दशमलव और भिन्न SSC संख्यात्मक अभियोग्यता के सबसे भरोसेमंद अंकों में से एक है। लगभग हर शिफ्ट में इससे एक प्रश्न आता है — कोई आवर्ती दशमलव जिसे भिन्न में लिखना है, कोई निरंतर भिन्न जिसका मान निकालना है, चार भिन्नें जिन्हें क्रम में लगाना है, या ऐसी भिन्न जो अंश-हर में कुछ जोड़ने पर बदल जाती है। इनमें से किसी को भारी गणना नहीं चाहिए; हर एक को सही क्रम में लगाया गया एक नियम चाहिए, तीस सेकंड से कम में।
ये नोट्स हर नियम को शुरुआत से समझाते हैं — केवल क्या नहीं, बल्कि क्यों, क्योंकि "क्यों" ही आपको उस दशमलव या निरंतर भिन्न को संभालने देता है जो आपने पहले कभी नहीं देखी। हर नियम के साथ एक हल किया उदाहरण, परीक्षा का शॉर्टकट और वह गलती है जो सबसे ज़्यादा अंक कटवाती है।
नोट्स विधि पक्की करते हैं; गति केवल अभ्यास से पक्की होती है। इन्हें एक टैब में और टेस्ट को दूसरे टैब में खुला रखें — इस विषय के चैप्टर टेस्ट से शुरू करें, फिर नियम स्वचालित लगने पर पूरे पेपर पर जाएँ।
इन नोट्स से मेल खाते दो स्तर। हर प्रश्न के साथ चरण-दर-चरण हल, हिंदी में भी।
अभ्यास शुरू करें पिछले वर्षअसली शिफ्ट-वार CGL पेपर, उत्तर कुंजी और पूरे हल के साथ। क्या पूछा जाता है, इसका सबसे अच्छा मार्गदर्शक।
PYQ हल करें पिछले वर्षशिफ्ट-वार CHSL पेपर, हल सहित। CHSL, CPO और MTS सभी अभ्यर्थियों के लिए उपयोगी।
PYQ हल करें पूर्ण लंबाईअसली परीक्षा समय में पूर्ण-लंबाई पेपर, करेंट अफेयर्स और हर प्रयास के बाद विस्तृत हल।
मॉक टेस्ट देंइन नोट्स का उपयोग कैसे करें: एक खंड पढ़ें, उदाहरण को हाथ से ढकें, स्वयं हल करें, फिर जाँचें। जो नियम केवल पढ़ा है वह शाम तक भूल जाता है। जो नियम एक बार इस्तेमाल किया है वह रह जाता है।
पूर्ण संख्याओं की हर भिन्न ठीक तीन में से एक प्रकार के दशमलव में बदलती है। प्रकार को देखते ही पहचानना अध्याय का पहला कौशल है, क्योंकि रूपांतरण का नियम और तुलना की ट्रिक दोनों इसी पर निर्भर हैं।
सांत (terminating) — अंक रुक जाते हैं: 3/8 = 0.375।
शुद्ध आवर्ती (pure recurring) — बिंदु के तुरंत बाद से एक समूह अनंत तक दोहराता है: 4/11 = 0.36 = 0.363636…
मिश्र आवर्ती (mixed recurring) — पहले कुछ अंक आते हैं जो नहीं दोहराते, फिर एक समूह दोहराता है: 7/30 = 0.23 = 0.2333…
रेखा (vinculum) ठीक उन्हीं अंकों के ऊपर होती है जो दोहराते हैं। 0.54 = 0.5454… है, जबकि 0.54 = 0.5444… — अलग संख्याएँ, और रेखा की स्थिति ही एकमात्र संकेत है।
कोई संख्या परिमेय (rational) है जब उसे एक पूर्ण संख्या बटा दूसरी पूर्ण संख्या लिखा जा सके। हर सांत दशमलव परिमेय है (0.375 = 375/1000) और हर आवर्ती दशमलव परिमेय है (खंड 3 और 4 दिखाते हैं कैसे)। जो दशमलव कभी समाप्त नहीं होता और किसी दोहराने वाले समूह में भी नहीं बैठता — 0.101001000100001… — वह अपरिमेय (irrational) है।
अतः "असांत" और "अपरिमेय" एक बात नहीं: 0.3 कभी समाप्त नहीं होता, फिर भी ठीक 1/3 है।
इनमें से शुद्ध आवर्ती दशमलव कौन-सा है: 0.125, 0.27, 0.36, 0.101001000…?
0.125 रुक जाता है — सांत। 0.27 में पहले न दोहराने वाला 2 है — मिश्र। 0.101001000… में कोई समूह नहीं — अपरिमेय। केवल 0.36 बिंदु के ठीक बाद से दोहराना शुरू करता है।
पूर्ण-संख्या भाग कुछ नहीं बदलता। 3.1245 उसी कारण मिश्र आवर्ती है जिस कारण 0.1245 है — वर्गीकरण केवल बिंदु के बाद के अंकों से करें।
कोई भिन्न किस प्रकार का दशमलव देती है, यह जानने के लिए भाग देने की ज़रूरत कभी नहीं पड़ती। हर बता देता है — पर तभी जब भिन्न न्यूनतम रूप में हो।
पहले सरल करें, फिर हर का गुणनखंड करें।
| न्यूनतम-रूप हर में है | दशमलव | उदाहरण |
|---|---|---|
| केवल 2 और 5 | सांत | 7/40 = 0.175 (40 = 23 × 5) |
| न 2 न 5 | शुद्ध आवर्ती | 4/11 = 0.36 |
| कोई 2 या 5 और कोई अन्य अभाज्य | मिश्र आवर्ती | 7/30 = 0.23 (30 = 2 × 3 × 5) |
क्यों। 10 = 2 × 5, अतः 2 और 5 से बने हर को गुणा करके 10 की घात बनाया जा सकता है — सांत दशमलव यही है। हर में कोई अन्य अभाज्य 10 की किसी घात से कभी नहीं हट सकता, इसलिए अंक अनंत तक चलते हैं। 2 और 5 न दोहराने वाले अंक बनाते हैं; अन्य अभाज्य दोहराने वाला समूह बनाता है।
न्यूनतम-रूप हर 2m × 5n के लिए दशमलव max(m, n) स्थानों के बाद समाप्त होता है — बड़ा घातांक, योग नहीं। 7/320: 320 = 26 × 5, अतः छह स्थान: 0.021875। कारण यह कि 10max(m,n) 10 की वह सबसे छोटी घात है जिसे हर विभाजित करता है।
3/8, 5/24, 7/50, 9/45, 11/40 में से कितनी सांत हैं?
8 = 23 ✔ 24 = 23 × 3 ✘ 50 = 2 × 52 ✔ 9/45 = 1/5 ✔ 40 = 23 × 5 ✔ — चार। चौथी ही पूरा प्रश्न है: 45 में 9 है, पर भिन्न सरल हो जाती है।
1 से 30 तक कितने n के लिए n/30 सांत दशमलव है?
30 = 2 × 3 × 5। 2 और 5 रह सकते हैं; 3 कटना चाहिए, अतः n, 3 का गुणज हो: 3, 6, …, 30 — 10 मान। ध्यान दें 10/30 = 1/3 आवर्ती है, हालाँकि 10 ने 2 और 5 दोनों काटे; अनुमत अभाज्यों को काटने से कुछ नहीं मिलता।
योग के भागों से कभी निर्णय न करें। 1/3 और 1/6 दोनों आवर्ती हैं, पर 1/3 + 1/6 = 1/2 सांत है। पहले जोड़ें, सरल करें, फिर हर पढ़ें।
दोहराने वाले समूह को उतने ही 9 के ऊपर लिखें जितने उसमें अंक हैं।
0.a = a/9 0.ab = ab/99 0.abc = abc/999
क्यों। माना x = 0.36। तब 100x = 36.36, और घटाने पर 100x − x = 36, अतः 99x = 36 और x = 36/99 = 4/11। 10k से गुणा (k = समूह की लंबाई) दशमलव को ठीक एक समूह खिसकाता है, इसलिए पूँछें कट जाती हैं। इस अध्याय का हर 9 वाला नियम यही एक घटाव है।
अंत में सरल करें, और गुणनखंड याद रखें: 99 = 9 × 11 और 999 = 27 × 37। अतः दो अंकों के समूह अक्सर ग्यारहवें भाग बनते हैं (0.27 = 3/11, 0.63 = 7/11) और तीन अंकों के समूह 27वें या 37वें भाग (0.135 = 5/37, 0.296 = 8/27)। पूर्ण-संख्या भाग बस वापस जोड़ दें: 2.18 = 2 + 2/11 = 24/11।
2.18 को न्यूनतम रूप की भिन्न में लिखिए।
0.18 = 18/99 = 2/11, अतः 2.18 = 2 + 2/11 = 24/11। भटकाने वाला 218/99, 218 को समूह मानता है — पर 2 नहीं दोहराता।
0.27, 27/100 नहीं है, और 0.027, 27/99 नहीं है। पहला 27/99 है (दोनों अंक दोहराते हैं); दूसरे में न दोहराने वाला 0 है और वह खंड 4 का है, जहाँ वह 27/990 बनता है।
अंश: बिंदु के बाद के सभी अंक (न दोहराने वाले और एक समूह), घटा न दोहराने वाले अंक।
हर: हर दोहराने वाले अंक के लिए एक 9, उसके बाद हर न दोहराने वाले अंक के लिए एक 0।
0.ab = (ab − a)/90 0.abc = (abc − a)/990 0.abc = (abc − ab)/900
क्यों। x = 0.46। तब 10x = 4.6 और 100x = 46.6; घटाने पर 90x = 46 − 4 = 42, अतः x = 42/90 = 7/15। पहला गुणा न दोहराने वाले अंकों के पार ले जाता है (0 देता है), दूसरा एक समूह और आगे (9 देता है)।
0.46 = ? (46 − 4)/90 = 42/90 = 7/15। जाँच: 7 ÷ 15 = 0.4666… ✔
0.327 = ? (327 − 3)/990 = 324/990 = 18/55।
1.23 = ? 1 + (23 − 2)/90 = 1 + 7/30 = 37/30। भटकाने वाला 11/9 = 1.2 है, एक अलग संख्या।
0.45 − 0.45 = ?
वही अंक, अलग रेखाएँ। 0.45 = 41/90 और 0.45 = 45/99 = 5/11। अंतर = (451 − 450)/990 = 1/990। रेखाओं को कभी अंक-दर-अंक न घटाएँ — पहले दोनों बदलें।
बिंदु के बाद का अग्रणी शून्य न दोहराने वाला अंक है: 0.045 = (045 − 0)/990 = 45/990 = 1/22। और अंक बदले हुए जोड़े का योग साफ़ आता है: 0.27 + 0.72 = 25/90 + 65/90 = 1, जब भी दोनों अंकों का योग 9 हो।
"सरलतम रूप" का अर्थ है अंश-हर पढ़ने से पहले सरल करें। 0.73 = 66/90 = 11/15, अतः "अंश + हर" 26 है, 156 नहीं।
Period दोहराने वाले समूह की लंबाई है। p/q के लिए, जहाँ q, 10 का सह-अभाज्य है, period वह सबसे छोटा k है जिसके लिए q, 10k − 1 को विभाजित करे — अर्थात 9 की वह सबसे छोटी संख्या जिसे q विभाजित करे। यह केवल q पर निर्भर है, p पर कभी नहीं।
| हर | Period | क्योंकि |
|---|---|---|
| 3, 9 | 1 | 9 को विभाजित करते हैं |
| 11 | 2 | 99 को विभाजित करता है |
| 27, 37 | 3 | 999 को विभाजित करते हैं |
| 7, 13 | 6 | 999999 को विभाजित करते हैं पर 9 की किसी छोटी माला को नहीं |
| 81 | 9 | 1/81 = 0.012345679 — समूह में 8 नहीं |
मिश्र आवर्ती भिन्न के लिए पहले 2 और 5 हटाएँ: 3/70 → 70 = 2 × 5 × 7, अतः period 7 का है, जो 6 है। सह-अभाज्य गुणनखंडों के लिए गुणनफल का period, period का LCM है: 1/77 का period LCM(6, 2) = 6 है, 12 नहीं।
समूह लंबाई L वाले शुद्ध आवर्ती दशमलव में n-वाँ अंक समूह का (n mod L)-वाँ अंक है, जहाँ "mod" का अर्थ भाग देने पर शेषफल है, और
शेषफल 0 का अर्थ समूह का अंतिम अंक।
s न दोहराने वाले अंकों वाले मिश्र आवर्ती दशमलव में पहले s घटाएँ और (n − s) mod L लें।
2/7 का 40वाँ अंक? 2/7 = 0.285714, L = 6; 40 = 6 × 6 + 4 → समूह का 4वाँ अंक, 7।
5/22 का 50वाँ अंक? 5/22 = 0.227, s = 1, L = 2; 49 mod 2 = 1 → समूह का पहला अंक, 2। ऑफसेट भूलने पर 7 आता है, जो गलत है।
4/7 के पहले 20 अंकों का योग? समूह 571428 का अंक-योग 27; 20 = 3 × 6 + 2, अतः 3 × 27 + (5 + 7) = 93।
दो भिन्नों का n-वाँ अंक अलग-अलग निकालकर न जोड़ें। अंकों के बीच का हासिल इसे तोड़ देता है। 1/7 + 1/11 के लिए पहले जोड़ें (18/77 = 0.233766), फिर अंक ढूँढें।
बदलें, फिर गणना करें। आवर्ती दशमलव साधारण भिन्न-गणना का ठीक-ठीक पालन करते हैं — क्योंकि वे भिन्नें हैं। समान लंबाई के समूह सीधे 99 या 999 के ऊपर जुड़ते हैं: 0.12 + 0.23 + 0.34 = 69/99 = 23/33। एक-अंक वाले आवर्ती दशमलवों के भागफल में 9 कट जाते हैं: 0.2 ÷ 0.6 = 2/6 = 1/3।
0.9 = 1 ठीक-ठीक। 10x − x = 9 से x = 1। अतः 0.3 + 0.6 = 1, और 0.9 से गुणा करने पर कुछ नहीं बदलता।
पहले बदलें: √(0.4) = √(4/9) = 2/3 = 0.6 — 0.2 नहीं। और (0.3)2 = 1/9 = 0.1, (0.3)2 + (0.6)2 = 1/9 + 4/9 = 5/9।
आवर्ती दशमलव को पूर्ण संख्या बनाने वाली सबसे छोटी प्राकृत संख्या उसकी न्यूनतम-रूप भिन्न का हर है। 0.24 = 8/33 → 33 (99 नहीं)। 0.23 = 7/30 → 30 (90 नहीं)। योग या भागफल के लिए पहले मिलाएँ, सरल करें, फिर हर पढ़ें: 0.6 + 0.15 = 9/11 → 11।
(0.45 + 0.54) ÷ 0.3 = ? समूह पूरक हैं: 45 + 54 = 99, अतः अंश ठीक 1 है। 1 ÷ (1/3) = 3।
0.7 में से क्या घटाया जाए कि 0.07 मिले? 77/99 − 7/99 = 70/99।
"1 से ज़रा कम।" हर साल छात्र 0.9 < 1 को सत्य मानते हैं। यह असत्य है; 0.9 − 0.98 = 1 − 89/90 = 1/90, 0 नहीं।
9 के नियम को उल्टा चलाएँ। p/q का दोहराने वाला समूह निकालने के लिए p/q को हर 9, 99 या 999 के साथ लिखें — जिसे भी q विभाजित करे — और अंश से समूह पढ़ लें।
यदि 8/27 = 0.abc, तो a + b + c? 8 × 37 = 296, अतः अंक 2, 9, 6 और योग 17। हाथ से भाग देकर 0.29 पर रुकना 6 छिपा लेता है।
यदि 0.ab = 17/90, तो a + b? अंकों के साथ 9a + b = 17 → a = 1, b = 8 → 9। जाँच: 0.18 = 0.1888… = 17/90 ✔
a − b = 1 और 0.ab + 0.ba = 5/9। 0.ab ज्ञात कीजिए। योग 11(a + b)/99 = (a + b)/9 है, अतः a + b = 5; a − b = 1 के साथ a = 3, b = 2: 32/99।
0.ab + 0.ba = (a + b)/9 हमेशा, और 0.ab × 11 = ab/9। दोनों "अंक ज्ञात करो" प्रश्नों में पूछे जाते हैं; दोनों एक पंक्ति में सिमट जाते हैं।
धनात्मक भिन्नों के लिए a/b > c/d ठीक तब जब ad > bc। दोनों पक्षों को धनात्मक संख्या bd से गुणा करने पर दिशा नहीं बदलती, और हर हट जाते हैं। 9/13 बनाम 11/16: 9 × 16 = 144 बनाम 13 × 11 = 143, अतः 9/13 बड़ी है — इतने कम अंतर से कि दशमलव अनुमान (0.692 बनाम 0.6875) आसानी से गलत हो सकता है।
समान अंश: बड़ा हर छोटी भिन्न है — 7/15 < 7/12 < 7/11 < 7/9। वही मात्रा अधिक भागों में बँटी।
समान हर: बड़ा अंश जीतता है। इसीलिए सब कुछ हरों के LCM पर लाना काम करता है — और जब प्रश्न आगे छोरों का अंतर या योग
पूछे, तो यही विधि अपनाएँ।
उचित (proper) भिन्न a/b (a < b) के लिए: किसी भी धनात्मक k पर (a + k)/(b + k) > a/b — यह 1 की ओर ऊपर जाती है। विषम (improper) भिन्न के लिए यह 1 की ओर नीचे जाती है। एक पंक्ति का प्रमाण: b(a + k) − a(b + k) = k(b − a), जो a < b पर धनात्मक है। अतः 7/9 < 9/11, पर 5/3 > 6/4 > 7/5।
4/9, 5/12, 7/18, 1/2 में सबसे बड़ी और सबसे छोटी का अंतर। LCM 36: 36 के ऊपर 16, 15, 14, 18। सबसे बड़ी 18/36, सबसे छोटी 14/36, अंतर 4/36 = 1/9।
कौन-सा सत्य है: I. 4/9 < 5/11 < 6/13; II. 7/12 > 8/13 > 9/14? हर जोड़े का वज्र-गुणन: 44 < 45 और 65 < 66 से I सत्य; 91 < 96 का अर्थ 7/12 < 8/13, अतः II असत्य। केवल I।
आवर्ती दशमलवों की तुलना भिन्न के रूप में या समान लंबाई के प्रसार से करें, "कितने अंक दोहराते हैं" से कभी नहीं। 0.72, 0.7 से लंबा दिखता है पर छोटा है (0.7272… बनाम 0.7777…)। और 0.54 < 0.54 क्योंकि तीसरे अंक 4 और 5 हैं।
जब हर भिन्न 1 से थोड़ी कम हो, तो कमी 1 − a/b = (b − a)/b की तुलना करें। सबसे छोटी कमी सबसे बड़ी भिन्न है। 23/24, 19/20, 15/16, 11/12 की कमियाँ 1/24, 1/20, 1/16, 1/12 हैं, अतः 23/24 सबसे बड़ी। जब कमी का अंश 2 हो (13/15 → 2/15), तो इकाई कमियों से तुलना से पहले उसे आधा करें: 2/15 = 1/7.5, जो 1/8 और 1/6 के बीच है।
समान k वाली n/(n + k) रूप की भिन्नें n के साथ बढ़ती हैं, क्योंकि कमी k/(n + k) घटती है। 13/17, 17/21, 21/25, 25/29 सबकी k = 4, अतः अंतिम सबसे बड़ी। और 5/7, 6/8, 7/9, 8/10 सबकी k = 2, अतः सूची पहले से आरोही है।
यदि हर कदम पर अंश a से और हर b से बढ़े, तो भिन्नें लगातार a/b की ओर चलती हैं। 2/3, 3/5, 4/7, 5/9 में a = 1, b = 2, अतः वे 1/2 की ओर जाती हैं; चूँकि 2/3 > 1/2, वे घटती हैं: 2/3 > 3/5 > 4/7 > 5/9। ऐसी सूची में शृंखला केवल एक दिशा में चल सकती है — "7/12 > 8/13 > 9/14" जैसा उल्टी दिशा का कथन गणना से पहले ही असत्य है।
11/14, 14/17, 0.8, 17/20 का अवरोही क्रम। तीनों भिन्नें n/(n+3) हैं, अतः 17/20 > 14/17 > 11/14। 0.8 रखें: 17/20 = 0.85 और 14/17 ≈ 0.8235 इससे ऊपर, 11/14 ≈ 0.786 नीचे। 17/20 > 14/17 > 0.8 > 11/14। नज़दीकी मुकाबला (0.8235 बनाम 0.8) ही पूरा प्रश्न है — वज्र-गुणन 14 × 5 = 70 > 68।
0.5, 0.5, 0.54, 0.54 का आरोही क्रम। पाँच स्थानों तक फैलाएँ: 0.50000, 0.55555, 0.54545, 0.54444। 0.5 < 0.54 < 0.54 < 0.5।
उचित भिन्न x के लिए: x2 < x < √x। 1 से छोटी संख्या का वर्ग उसे छोटा करता है; मूल उसे बड़ा करता है। x > 1 पर क्रम पलट जाता है। अतः x = 4/9 पर: 16/81 < 4/9 < 2/3।
p/q और r/s के बीच n/d ढूँढने के लिए दोनों सीमाओं को हर d के साथ लिखें — p/q = (pd/q)/d — और सख्ती से बीच के पूर्ण अंश चुनें। जब दोनों सीमाएँ ठीक d-वें भाग हों, ऐसी भिन्नों की गिनती (ऊपरी अंश) − (निचला अंश) − 1 है।
दो भिन्नों के बीच N/d ढूँढने के लिए सीमाओं को अंश N के साथ लिखें — और याद रखें d पर असमानता उल्टी दिशा में चलती है, क्योंकि बड़ा हर छोटी भिन्न बनाता है।
3/8 और 5/12 के बीच हर 40 वाली भिन्न। 3/8 = 15/40 और 5/12 = 16.67/40; सख्ती से बीच की एकमात्र पूर्ण संख्या 16, अतः 16/40। 15/40 असफल — वह 3/8 के बराबर है।
1/3 और 3/4 के सख्ती से बीच हर 24 वाली कितनी भिन्नें? 8/24 और 18/24; गिनती = 18 − 8 − 1 = 9। छोर गिनने पर गलत 11 आता है।
3/8 और 2/5 के बीच अंश 5 वाली भिन्न। 3/8 = 5/13.33 और 2/5 = 5/12.5, अतः d = 13: 5/13। जाँचें कि 5/12 (0.417) और 5/14 (0.357) दोनों बाहर पड़ते हैं।
आवर्ती रूप में दी सीमा भी सटीक है। 0.3 और 0.6 के बीच हर 36 का अर्थ 12/36 और 24/36 के बीच: 11 भिन्नें। और ऊपरी सीमा 0.9 का अर्थ स्वयं 1 है — अतः 12/12 सीमा है, अंदर नहीं।
निरंतर भिन्न (continued fraction) वह भिन्न है जिसके हर में स्वयं एक भिन्न है, परत-दर-परत। सबसे भीतरी परत से शुरू करें; हर परत पर पूर्ण संख्या को नीचे के मान के व्युत्क्रम (पलटे हुए) में जोड़ें, और बाहर बढ़ें।
3 + 1/(2 + 1/(1 + 1/4)): 1 + 1/4 = 5/4 → 2 + 4/5 = 14/5 → 3 + 5/14 = 47/14।
हर परत के अपने चिह्न और अंश का सम्मान करें: ऋण ऋण ही रहता है, और 2/(…) लिखी परत पलटे हुए मान का दुगुना है। 2 + 1/(3 − 1/(1 + 1/2)) = 2 + 1/(3 − 2/3) = 2 + 3/7 = 17/7।
सब 1: 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)) से 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, … — हर अंश पिछले दो का योग है, और हर नया हर पुराना अंश है।
सब 2: 2 + 1/(2 + 1/(2 + …)) से 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, … — हर अंश पिछले का दुगुना जमा उससे पहले वाला।
परतें गिनें और पद पढ़ लें; भाग की ज़रूरत नहीं।
1 + 1/(1 + 1/0.3) = ? पहले दशमलव को उसकी भिन्न से बदलें: 1/0.3 = 3, फिर 1 + 3 = 4, पलटकर 1/4, और 1 + 1/4 = 5/4। 1/3 की जगह 0.3 लेने पर गड़बड़ होती है।
1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/3))) आवर्ती दशमलव के रूप में। 4/3 → 7/4 → 11/7 → पलटें: 7/11 = 63/99 = 0.63।
एक कार यात्रा का 1/(1 + 1/(1 + 1/3)) भाग 20 मिनट में तय करती है। शेष का समय? भिन्न 4/7 है; शेष 3/7, अतः 20 × 3/4 = 15 मिनट। 35 मिनट पूरी यात्रा है, भटकाने वाला।
अंतिम पलटाव। जब पूरी चीज़ 1/(…) हो, तो सबसे अंतिम चरण एक पलटाव है — 11/7 बनता है 7/11। इस खंड के अधिकांश गलत उत्तर एक पलटाव पहले का मान होते हैं।
x + CF = k, x − CF = k, x × CF = k, CF ÷ x = k: पहले निरंतर भिन्न का मान संख्या C निकालें, फिर यह एक पंक्ति का समीकरण है। x − 1/(2 + 1/(3 + 1/2)) = 1 → C = 7/16 → x = 1 + 7/16 = 23/16।
परतों को बाहर से छीलें: दोनों पक्ष पलटें, परत की पूर्ण संख्या घटाएँ, फिर पलटें, और तब तक दोहराएँ जब तक केवल x न बचे।
1/(2 + 1/(1 + 1/x)) = 4/11: पलटें → 2 + 1/(1 + 1/x) = 11/4; 2 घटाएँ → 1/(1 + 1/x) = 3/4; पलटें → 1 + 1/x = 4/3; अतः 1/x = 1/3 और x = 3।
भिन्न को पलटें, पूर्ण भाग अलग करें, शेष को पलटें, तब तक दोहराएँ जब तक शेष इकाई भिन्न न हो। पूर्ण भाग परतों की संख्याएँ हैं।
7/24 → 24/7 = 3 + 3/7 → 7/3 = 2 + 1/3, अतः 7/24 = 1/(3 + 1/(2 + 1/3))। विषम भिन्न के लिए पहले पूर्ण भाग लें: 19/7 = 2 + 5/7 → 7/5 = 1 + 2/5 → 5/2 = 2 + 1/2।
2/(…) लिखी परत पर परत का मान 2 ÷ शेष है: 1/(x + 2/(y + 1/z)) = 7/18 के लिए 18/7 = 2 + 4/7 से x = 2 और y + 1/z = 2 ÷ 4/7 = 7/2, अतः y = 3, z = 2।
1/(a + 1/(b + 1/c)) = 7/16, प्राकृत a, b, c। a + 2b + c ज्ञात कीजिए। 16/7 = 2 + 2/7; 7/2 = 3 + 1/2 → a = 2, b = 3, c = 2 → 10।
1/(2 + 1/(1 + 1/x)) = 3/8। x2 + 1/x2 ज्ञात कीजिए। छीलें: 8/3 − 2 = 2/3 → 3/2 − 1 = 1/2 → x = 2। तब 4 + 1/4 = 17/4।
बीजीय: 1/(1 + 1/(1 + 1/x)) = ? (x + 1)/x → 1 + x/(x + 1) = (2x + 1)/(x + 1) → पलटें: (x + 1)/(2x + 1)। x = 1 से जाँचें: दोनों पक्ष 2/3 देते हैं।
1 + y/(1 − y) = 1/(1 − y), अतः इसका व्युत्क्रम 1 − y में सिमट जाता है। y/(1 − y) या a/(1 + a) पर बनी कोई भी निरंतर भिन्न इस सर्वसमिका से एक पंक्ति में सिमटती है: (1 − 1/(1 + x/(1 − x)))/x = 1।
पूर्णांक संख्या से ज़रा नीचे की मिश्र संख्या (पूर्णांक संख्या − छोटी भिन्न) है: 99 k−1⁄k = 100 − 1/k। अतः
99 k−1⁄k × m = 100m − m/k, और 1000 तथा 10000 के साथ वही।
99 5/6 × 36 = 3600 − 6 = 3594। 9999 3/4 × 8 = 80000 − 2 = 79998। 999 7/8 × 16 + 2 = 15998 + 2 = 16000 — जोड़ी गई भिन्न पूर्णांक संख्या वापस लाने के लिए चुनी गई है।
गुणनफल पूर्ण संख्या ठीक तब है जब k, m को विभाजित करे: 99 3/4 × 12 पूर्ण है (4 | 12), 99 3/4 × 10 नहीं।
मिश्र संख्याओं को (पूर्ण भाग) + (LCM के ऊपर भिन्नात्मक भाग) की तरह जोड़ें। यदि कुल W + r/L हो, तो पूर्ण संख्या के लिए घटाने वाली सबसे छोटी भिन्न r/L है, और जोड़ने वाली 1 − r/L। दोनों का योग 1 है — एक त्वरित जाँच। यदि लक्ष्य "5 का अगला गुणज" हो, तो अगली पूर्ण संख्या नहीं, उस गुणज का लक्ष्य रखें।
1 1/4 + 2 2/3 + 3 1/2 में पूर्ण संख्या के लिए जोड़ने वाली सबसे छोटी भिन्न? भिन्नें: 3/12 + 8/12 + 6/12 = 17/12 = 1 5/12; कुल 7 5/12; जोड़ें 1 − 5/12 = 7/12।
यदि 99 k−1⁄k × 48 = 4794, तो k? 4800 − 48/k = 4794 → 48/k = 6 → k = 8।
0.6 + 0.7 + 0.8 में जोड़ने वाली सबसे छोटी भिन्न? 21/9 = 2 1/3, अतः 2/3 जोड़ें।
घटाना या जोड़ना? 5/12 और 7/12 हर बार दोनों विकल्पों में होते हैं। भिन्नात्मक भाग घटाने से पूर्णांक तक नीचे जाते हैं; उसका पूरक जोड़ने से ऊपर। पढ़ें कि प्रश्न कौन-सा चाहता है।
भिन्न को n/d कहें, हर वाक्य को वज्र-गुणन से समीकरण बनाएँ, और जोड़े को हल करें। "1 हो जाती है" का अर्थ परिवर्तन के बाद n = d। यदि भाग अनुपात में हों, तो 3k और 4k लिखें; यदि हर "अंश के दुगुने से 1 अधिक" हो, तो d = 2n + 1 लिखें।
अंश में 1 जोड़ने पर भिन्न 2/3 और हर में 1 जोड़ने पर 1/2 हो जाती है। 3n + 3 = 2d और 2n = d + 1 → d = 2n − 1 → 3n + 3 = 4n − 2 → n = 5, d = 9: 5/9।
हर अंश के दुगुने से 1 अधिक है; अंश में 5 जोड़ने और हर में से 1 घटाने पर 3/4 हो जाती है। (n + 5)/(2n) = 3/4 → 4n + 20 = 6n → n = 10, d = 21; योग 31।
भाग 3 : 4 के अनुपात में; प्रत्येक में 4 जोड़ने पर 7/9 हो जाती है। (3k + 4)/(4k + 4) = 7/9 → 27k + 36 = 28k + 28 → k = 8; भिन्न 24/32 = 3/4।
योग S और अंतर D: बड़ी = (S + D)/2, छोटी = (S − D)/2।
योग S और गुणनफल P: (x − y)2 = S2 − 4P बिना द्विघात हल किए अंतर देता है।
गुणनफल और वर्गों का योग: (x + y)2 = (x2 + y2) + 2P।
अनुपात p : q और गुणनफल P: pk, qk लिखें; तब pq k2 = P।
योग और व्युत्क्रमों का योग: 1/x + 1/y = (x + y)/xy, अतः गुणनफल = योग ÷ (व्युत्क्रमों का योग)।
हर उपवाक्य का अनुवाद करें: "c को a से भाग देने पर 5/3" → c = 5a/3; "जो b से 7/6 अधिक है" → b = 5/3 − 7/6; फिर योग का प्रयोग करें। अनुपातों की शृंखला a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5 के लिए b-भाग समान करें: 8 : 12 : 15, और कुल को 35 भागों में बाँटें। युग्मवार योग a + b, b + c, a + c: तीनों जोड़ें, कुल के लिए आधा करें, हर जोड़ा घटाएँ।
गुणा की जगह f से भाग: त्रुटि = x(1/f − f)। भाग की जगह 5/6 से गुणा: कमी = x(6/5 − 5/6) = 11x/30। p/q की जगह व्युत्क्रम q/p: त्रुटि = x(q2 − p2)/pq। गुणा की जगह f जोड़ा: त्रुटि = x(1 − f) + f — यह x के समानुपाती नहीं, अतः पूरा समीकरण लिखें।
योग 11/12, अंतर 1/4। बड़ी भिन्न? (11/12 + 3/12)/2 = 7/12।
योग 5/6, गुणनफल 1/6। बड़ी में से छोटी? (x − y)2 = 25/36 − 24/36 = 1/36 → 1/6।
एक छात्र ने गुणा की जगह 5/6 से भाग दिया और 11/24 अधिक पाया। सही उत्तर? 11x/30 = 11/24 → x = 5/4; सही = 5/4 × 5/6 = 25/24।
तीन भिन्नों का योग 5/4; सबसे बड़ी ÷ सबसे छोटी = 3/2, जो बीच वाली से 13/12 अधिक है। सबसे बड़ी? बीच = 5/12; s + l = 5/6, l = 3s/2 → s = 1/3, l = 1/2।
"N के 3/5 का 2/3, 48 है" का अर्थ (2/3)(3/5)N = 48 → N = 120। "N का 3/4, N के 2/3 से 6 अधिक है" का अर्थ (3/4 − 2/3)N = N/12 = 6 → N = 72। पहले भिन्नों का गुणा करें, फिर उलटें।
जो पूछा है वही उत्तर दें। भिन्न निकालने के बाद प्रश्न भागों का योग, उनका गुणनफल, व्युत्क्रम, दशमलव रूप, या उसके दशमलव का period माँग सकता है। इस खंड में आधे अंक भिन्न सही निकल जाने के बाद कटते हैं।
पूर्ण संख्याओं का गुणा करें, फिर बिंदु को उतने स्थानों के बाद रखें जितने गुणनखंडों में कुल हैं: 0.04 × 0.4 × 0.004 → 64, 2 + 1 + 3 = 6 स्थान → 0.000064। फिर अंत के शून्य हटाएँ: 0.25 × 0.5 × 0.16 → 2000, 5 स्थान → 0.02000 = 0.02, जिसमें 2 दशमलव स्थान हैं, 5 नहीं।
| दशमलव | भिन्न | दशमलव | भिन्न |
|---|---|---|---|
| 0.125 | 1/8 | 0.0625 | 1/16 |
| 0.375 | 3/8 | 0.3 | 1/3 |
| 0.625 | 5/8 | 0.6 | 2/3 |
| 0.875 | 7/8 | 0.1 | 1/9 |
| 0.75 | 3/4 | 0.09 | 1/11 |
| 0.2 | 1/5 | 0.142857 | 1/7 |
0.375 ÷ 0.0625 = 3/8 ÷ 1/16 = 6; 0.6 × 0.375 ÷ 0.25 = 2/3 × 3/8 × 4 = 1। भिन्न रूप गणना को सटीक और छोटा बनाते हैं।
दशमलव बिंदु खिसकाना। भाग में दोनों बिंदुओं को समान स्थान खिसकाएँ: 0.375 ÷ 0.0625 = 3750 ÷ 625। अलग-अलग मात्रा में खिसकाने से मान बदल जाता है।
हर दावे को भिन्न रूप पर परखें, कटे हुए दशमलव पर कभी नहीं। SSC के पसंदीदा कथन:
| दावा | निर्णय | क्योंकि |
|---|---|---|
| 0.3 × 3 = 1 | सत्य | 1/3 × 3 |
| 0.9 < 1 | असत्य | 0.9 = 9/9 = 1 |
| 0.45 = 5/11 | सत्य | 45/99 |
| 0.5 > 5/9 | असत्य | वे बराबर हैं |
| 1 ÷ 0.5 = 1.8 | सत्य | 9/5 |
| (0.3)2 = 0.1 | सत्य | 1/9 |
| हर असांत दशमलव अपरिमेय है | असत्य | 0.3 = 1/3 |
| 1/6 − 1/7 = 1/13 | असत्य | यह 1/42 = 1/(6 × 7) है |
तीन अलग निर्णय, क्रम से: क्या A सत्य है, क्या R सत्य है, क्या R, A की व्याख्या करता है। "7/8 > 6/7" और कारण "(n − 1)/n, n के साथ बढ़ता है" — दोनों सत्य, और R, A की व्याख्या करता है क्योंकि दोनों भिन्नें वास्तव में उस रूप की हैं। व्याख्या स्वीकारने से पहले रूप जाँचें।
जिस जोड़ी पर सबसे ज़्यादा भरोसा हो उसे पहले पक्का करें — प्रायः शुद्ध आवर्ती दशमलव, जो 9 के नियम से सीधे पढ़ जाता है — और असहमत हर विकल्प हटा दें। मिश्र आवर्ती वाले तब तक छोड़ें जब तक विकल्प सिमट न जाएँ, फिर रूपांतरण से पुष्टि करें।
परीक्षा से एक रात पहले केवल यह पृष्ठ पढ़ें।
| दशमलव | भिन्न | क्योंकि |
|---|---|---|
| 0.a / 0.ab / 0.abc | a/9 / ab/99 / abc/999 | 10kx − x पूँछें काटता है |
| 0.ab | (ab − a)/90 | 100x − 10x |
| 0.abc | (abc − a)/990 | 1000x − 10x |
| 0.abc | (abc − ab)/900 | 1000x − 100x |
| 0.9 | 1 | 10x − x = 9 |
| p/11 | 0.9p (दो अंक) | 99 = 9 × 11 |
| p/27, p/37 | 0.37p, 0.27p | 999 = 27 × 37 |
| सांत? | न्यूनतम-रूप हर = 2m5n | 10 = 2 × 5 |
| दशमलव स्थान | max(m, n) | 10 की सबसे छोटी घात जिसे यह विभाजित करे |
| स्थिति | सूत्र |
|---|---|
| p/q का period (q, 10 का सह-अभाज्य) | सबसे छोटा k जिसके लिए q | 10k − 1; 11→2, 27, 37→3, 7, 13→6, 81→9 |
| सह-अभाज्य q के गुणनफल का period | period का LCM |
| n-वाँ अंक (शुद्ध / मिश्र) | समूह का अंक (n mod L) / ((n − s) mod L); 0 = अंतिम |
| पूर्ण संख्या के लिए सबसे छोटा गुणक | न्यूनतम-रूप हर |
| a/b, c/d की तुलना | ad बनाम bc |
| समान अंश | बड़ा हर = छोटी भिन्न |
| 1 के पास | सबसे छोटी कमी (b − a)/b जीतती है |
| n/(n + k), निश्चित k | n के साथ बढ़ती है |
| (a + k)/(b + k) | उचित पर > a/b, विषम पर < a/b |
| उचित भिन्न x | x2 < x < √x |
| p/d और q/d के सख्ती से बीच d-वें भागों की गिनती | q − p − 1 |
| निरंतर भिन्न | मान भीतर से बाहर; हल बाहर से भीतर (पलटें, घटाएँ, पलटें) |
| सब-1 / सब-2 सीढ़ी | 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 / 5/2, 12/5, 29/12, 70/29 |
| 99 k−1⁄k × m | 100m − m/k; पूर्ण जब k | m |
| घटाने / जोड़ने वाली सबसे छोटी | r/L / 1 − r/L |
| योग S, अंतर D | (S ± D)/2 |
| योग S, गुणनफल P | (x − y)2 = S2 − 4P |
| गुणनफल P, वर्ग-योग Q | (x + y)2 = Q + 2P |
| योग, व्युत्क्रम-योग R | गुणनफल = S/R |
| × की जगह f से भाग | त्रुटि = x(1/f − f) |
| × की जगह f जोड़ा | त्रुटि = x(1 − f) + f |
| गुणनफल के दशमलव स्थान | स्थानों का योग, फिर अंत के शून्य हटाएँ |
उत्तर: 1) 7/15 2) 4 3) 7 4) 5/9 < 4/7 < 3/5 < 2/3 5) 47/14 6) 3 7) 3594 8) 5/9
शुद्ध आवर्ती दशमलव के लिए दोहराने वाले समूह को उतने ही 9 के ऊपर लिखें जितने उसमें अंक हैं: 0.36 = 36/99 = 4/11। मिश्र आवर्ती दशमलव के लिए सभी अंकों में से न दोहराने वाले अंक घटाएँ और परिणाम को दोहराने वाले अंकों के लिए 9 और उसके बाद न दोहराने वाले अंकों के लिए 0 के ऊपर लिखें: 0.46 = (46 − 4)/90 = 7/15।
पहले उसे न्यूनतम रूप में लाएँ। वह तभी सांत है जब हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड न हो, और तब उसमें उतने दशमलव स्थान होते हैं जितना दोनों घातांकों में बड़ा है। 7/40 तीन स्थानों में समाप्त होता है; 7/30 आवर्ती है क्योंकि 30 में 3 है।
हाँ, ठीक-ठीक। यदि x = 0.9 तो 10x − x = 9, अतः x = 1। यह वही तथ्य है जो 0.3 = 1/3 को 3 से गुणा करने पर मिलता है। जो कथन प्रश्न कहते हैं कि 0.9, 1 से कम है, वे असत्य हैं।
जोड़े के लिए वज्र-गुणन: a/b, c/d से बड़ी है ठीक तब जब ad, bc से बड़ा हो। सूची के लिए, जब सभी भिन्नें 1 के पास हों तो 1 से कमी की तुलना करें, याद रखें कि समान-अंश भिन्नें हर बढ़ने पर छोटी होती हैं, और n/(n + k) रूप की भिन्नें n के साथ बढ़ती हैं।
सबसे भीतरी परत से बाहर की ओर चलें, हर चरण पर पूर्ण संख्या को नीचे के मान के व्युत्क्रम में जोड़ते हुए। यदि अज्ञात अंदर हो, तो बाहर से भीतर छीलें: दोनों पक्ष पलटें, परत की पूर्ण संख्या घटाएँ, फिर पलटें, और तब तक दोहराएँ जब तक केवल अज्ञात न बचे।
यहाँ एक खंड पूरा करने के बाद TrickySSC पर मेल खाता दशमलव और भिन्न अभ्यास टेस्ट दें। टेस्ट दो स्तरों में हैं, और हर प्रश्न के साथ अंग्रेज़ी और हिंदी में चरण-दर-चरण हल है।
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