LCM और HCF — SSC CGL स्टडी नोट्स (हिंदी)
अध्याय में जो कुछ पूछा जाता है — सरल भाषा में, हर नियम के नीचे एक उदाहरण और वे ट्रैप जो SSC लगाता है।
Read in English →
LCM और HCF SSC CGL गणित का सबसे छोटा अध्याय है और अंकों के लिहाज़ से सबसे भरोसेमंद। लगभग हर प्रश्न करीब एक दर्जन पैटर्न में से एक होता है। इन नोट्स में हर पैटर्न एक बार, सरल भाषा में, अक्षरों में लिखे नियम, एक हल किए उदाहरण, एक शॉर्टकट और उस ट्रैप के साथ दिया है जिससे अंक कटते हैं।
विषय: गुणनखंड और गुणज · HCF और LCM निकालना · गुणनफल नियम · भिन्न और दशमलव · अभाज्य-घात रूप · घंटियाँ, बत्तियाँ और धावक · शेषफल वाली सबसे छोटी/बड़ी संख्या · मापक छड़ और कटाई · अनुपात वाली संख्याएँ · गुणनफल या योग से जोड़ियाँ · पूर्ण वर्ग · बहुपद · ट्रैप।
1. गुणनखंड, गुणज, HCF और LCM
Concept
किसी संख्या का गुणनखंड (factor) उसे पूरा-पूरा बाँटता है (3, 12 का गुणनखंड है)। गुणज (multiple) = संख्या × कोई पूर्ण संख्या (12, 24, 36 12 के गुणज हैं)।
HCF (महत्तम समापवर्तक) = वह सबसे बड़ी संख्या जो दी गई सभी संख्याओं को बाँटे।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) = वह सबसे छोटी संख्या जिसे दी गई सभी संख्याएँ बाँटें।
जिन दो संख्याओं का HCF 1 हो वे सह-अभाज्य (co-prime) कहलाती हैं (8 और 15)। उनका स्वयं अभाज्य होना ज़रूरी नहीं।
उदाहरण 12 और 18। 12 के गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 6, 12। 18 के: 1, 2, 3, 6, 9, 18। उभयनिष्ठ: 1, 2, 3, 6 → HCF = 6। 12 के गुणज 12, 24, 36, … और 18 के 18, 36, … → LCM = 36।
शॉर्टकट यदि एक संख्या दूसरी को बाँटती हो, तो छोटी HCF और बड़ी LCM है। HCF(8, 24) = 8, LCM(8, 24) = 24।
2. HCF निकालना
विधि A — अभाज्य गुणनखंडन
नियम हर संख्या को अभाज्यों के गुणनफल में लिखिए। HCF हर उभयनिष्ठ अभाज्य को उसकी सबसे छोटी घात पर लेता है।
उदाहरण 360 = 23·32·5 और 84 = 22·3·7। उभयनिष्ठ अभाज्य 2 और 3, सबसे छोटी घातें 22 और 31। HCF = 4 × 3 = 12।
विधि B — Euclid की भाग विधि (बड़ी संख्याओं के लिए सबसे अच्छी)
नियम बड़ी को छोटी से भाग दीजिए। फिर भाजक को शेषफल से भाग दीजिए। शेषफल 0 होने तक दोहराइए। अंतिम भाजक ही HCF है।
उदाहरण HCF(1794, 2346): 2346 = 1794 × 1 + 552; 1794 = 552 × 3 + 138; 552 = 138 × 4 + 0। HCF = 138।
शॉर्टकट दो संख्याओं का हर उभयनिष्ठ गुणनखंड उनके अंतर को भी बाँटता है। इसलिए HCF(a, b) = HCF(b, a − b)। 2346 और 1794 का अंतर 552 है — सीधे 552 से शुरू कर सकते हैं।
3. LCM निकालना
विधि A — अभाज्य गुणनखंडन
नियम LCM हर अभाज्य को, जो किसी भी संख्या में आए, उसकी सबसे बड़ी घात पर लेता है।
उदाहरण 36 = 22·32, 54 = 2·33, 90 = 2·32·5। सबसे बड़ी घातें: 22, 33, 5। LCM = 4 × 27 × 5 = 540।
विधि B — भाग की सीढ़ी
2 | 36 54 90
3 | 18 27 45
3 | 6 9 15
| 2 3 5 LCM = 2×3×3 × 2×3×5 = 540
पूरी पंक्ति को ऐसे किसी अभाज्य से भाग दीजिए जो कम-से-कम दो संख्याओं को बाँटे; बाकी को वैसे ही नीचे उतारिए। जब कोई अभाज्य दो संख्याओं को न बाँटे, रुक जाइए। सभी भाजकों और नीचे की पंक्ति को गुणा कीजिए।
शॉर्टकट जो संख्या समुच्चय की किसी दूसरी संख्या को बाँटती हो उसे LCM निकालने से पहले हटाया जा सकता है। LCM(15, 25, 75, 90) = LCM(75, 90) = 450, क्योंकि 15 और 25 दोनों 75 को बाँटते हैं।
ट्रैप सीढ़ी में नीचे की पंक्ति में बची संख्याओं को भूल जाना सबसे आम चूक है — उनमें से हर एक को गुणा करना है।
4. चार ज़रूरी संबंध
| संबंध | क्या कहता है | कब लगाएँ |
|---|
| गुणनफल नियम | दो संख्याओं a, b के लिए: a × b = HCF × LCM | {a, b, HCF, LCM} में से कोई दो दिए हों → तीसरा निकालना |
| HCF, LCM को बाँटता है | LCM हमेशा HCF का गुणज होता है | "इनमें से कौन HCF (या LCM) हो सकता / नहीं हो सकता" |
| सैंडविच | HCF ≤ छोटी ≤ बड़ी ≤ LCM; सब बराबर केवल तब जब a = b | सही / गलत कथन |
| सह-अभाज्य विभाजन | यदि HCF = h, तो संख्याएँ ha और hb हैं जहाँ a, b सह-अभाज्य; LCM = hab | अनुपात, "कितनी जोड़ियाँ", "कौन-सी जोड़ी" |
उदाहरण HCF 12, LCM 180, एक संख्या 36। दूसरी = 12 × 180 ÷ 36 = 60। जाँच: HCF(36, 60) = 12 ✓।
उदाहरण दो संख्याओं का HCF 6 और LCM 180 है। सभी जोड़ियाँ: ab = 180 ÷ 6 = 30, सह-अभाज्य विभाजन (1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6) → जोड़ियाँ (6, 180), (12, 90), (18, 60), (30, 36)। चार जोड़ियाँ, और हर एक का गुणनफल 1080।
ट्रैप गुणनफल नियम केवल दो संख्याओं के लिए है। 2, 2, 2 के लिए HCF × LCM = 4, गुणनफल = 8। इसे तीन संख्याओं पर कभी न लगाएँ।
ट्रैप बताया गया HCF और LCM असंभव भी हो सकता है: HCF 8 और LCM 84 नहीं हो सकता, क्योंकि 84 ÷ 8 पूर्ण नहीं है।
5. भिन्न और दशमलव
नियम (सरलतम रूप वाली भिन्नें)
भिन्नों का LCM = अंशों का LCM ÷ हरों का HCF
भिन्नों का HCF = अंशों का HCF ÷ हरों का LCM
मिश्र संख्याएँ → पहले विषम भिन्न बनाइए। असरल भिन्नें → पहले सरल कीजिए, वरना नियम गलत उत्तर देता है।
उदाहरण LCM(3/4, 9/10, 15/8) = LCM(3, 9, 15) ÷ HCF(4, 10, 8) = 45 ÷ 2 = 45/2। इन्हीं का HCF = HCF(3, 9, 15) ÷ LCM(4, 10, 8) = 3/40।
ट्रैप 4/6, 6/9, 10/15 तीनों 2/3 हैं, इसलिए उनका HCF 2/3 है। बिना सरल किए नियम लगाने पर 2/90 आता है — गलत।
नियम (दशमलव) हर दशमलव को समान दशमलव स्थानों तक भरिए, दशमलव हटाइए, पूर्ण संख्याओं का LCM या HCF निकालिए, फिर उतने ही स्थान वापस लगाइए।
उदाहरण LCM(0.4, 0.06, 0.9): 0.40, 0.06, 0.90 → 40, 6, 90 → LCM 360 → 3.60 = 3.6। HCF(1.5, 0.75, 2.25) → 150, 75, 225 → 75 → 0.75।
शॉर्टकट दशमलवों का LCM ÷ HCF भरी हुई पूर्ण संख्याओं के LCM ÷ HCF के बराबर होता है — दशमलव का खिसकाव कट जाता है।
6. अभाज्य-घात रूप और गुणन
नियम जब संख्याएँ 2a·3b·… रूप में दी हों, तो अभाज्य-दर-अभाज्य काम कीजिए: HCF छोटी घात लेता है, LCM बड़ी। यदि कोई घात अज्ञात हो, तो HCF या LCM उसे तय कर देता है।
उदाहरण A = 23·5m, B = 25·52, LCM = 25·54। अभाज्य 5: max(m, 2) = 4 → m = 4।
नियम (गुणन) HCF(ka, kb) = k × HCF(a, b) और LCM(ka, kb) = k × LCM(a, b)। दोनों संख्याओं को k से गुणा करने पर HCF और LCM दोनों k से गुणित होते हैं। केवल एक संख्या को k से गुणा करने पर LCM उतना ही बदलता है जितना k का भाग LCM में पहले से नहीं है।
उदाहरण LCM(a, b) = 84 → LCM(3a, 3b) = 252। पर a = 24, b = 40 (LCM 120) पर LCM(a, 3b) = LCM(24, 120) = 120 — 3 पहले से 24 के भीतर था।
शॉर्टकट HCF(a + b, b) = HCF(a, b)। एक संख्या को दूसरी में जोड़ने से HCF कभी नहीं बदलता — Euclid की विधि इसी पर चलती है।
7. घंटियाँ, बत्तियाँ और धावक (LCM)
नियम जो चीज़ें हर p, q, r सेकंड में दोहराती हैं वे हर LCM(p, q, r) सेकंड में एक साथ होती हैं। सभी अंतरालों को पहले एक ही इकाई में बदलिए।
| प्रश्न | उत्तर |
|---|
| कितनी देर बाद अगली बार साथ? | LCM |
| शुरुआत के बाद k-वीं बार किस समय साथ? | शुरुआत + k × LCM |
| अवधि T में (शुरुआत के बाद) कितनी बार? | T ÷ LCM; शुरुआत गिननी हो तो 1 जोड़िए |
| धावक: प्रारंभिक बिंदु पर फिर कब साथ? | चक्कर-समयों का LCM; किसी धावक के चक्कर = LCM ÷ उसका चक्कर-समय |
उदाहरण सिग्नल हर 40 से, 1 मिनट, 1 मिनट 20 से में बदलते हैं → 40, 60, 80 से → LCM 240 से = 4 मिनट। 1 घंटे में शुरुआत के बाद 60 ÷ 4 = 15 बार साथ, शुरुआत गिनें तो 16।
ट्रैप "15 मिनट में कितनी बार, दोनों सिरे मिलाकर" और "और कितनी बार" में ठीक एक का अंतर है। पढ़िए कौन-सा पूछा है।
8. शेषफल वाली सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्याएँ (LCM)
| शर्त | संख्या का रूप | उदाहरण |
|---|
| a, b, c से विभाज्य | L × k (L = LCM) | सबसे छोटी: L। सबसे छोटी चार-अंकीय: पहला L×k ≥ 1000 |
| a, b, c पर एक ही शेषफल r | L × k + r | 6, 9, 12 पर शेषफल 5: 36k + 5 → 41, 77, 113 … |
| हर भाजक − शेषफल एक ही d | L × k − d | 4, 6, 8 पर शेषफल 1, 3, 5 (अंतर 3): 24k − 3 → 21, 45, 69 … |
| साथ में एक और शर्त (7 से विभाज्य, या 7 पर शेषफल) | परिवार L × k + r पर चलकर हर एक को जाँचिए | 11 का गुणज जो 6, 8, 9 पर शेषफल 4 दे: 72k + 4 → 76, 148, 220 |
जोड़ने / घटाने की न्यूनतम संख्या N का L पर शेषफल r निकालिए। नीचे वाले गुणज तक पहुँचने के लिए r घटाइए; ऊपर वाले तक L − r जोड़िए। दोनों का योग हमेशा L होता है।
उदाहरण 4763 और 8, 9, 12 का LCM (= 72): 4763 = 72 × 66 + 11। 11 घटाइए या 61 जोड़िए।
शॉर्टकट L का सबसे बड़ा n-अंकीय गुणज = (सबसे बड़ी n-अंकीय संख्या) − उसका L पर शेषफल। 180 का सबसे बड़ा तीन-अंकीय गुणज: 999 − 99 = 900।
ट्रैप "6, 9, 12 पर शेषफल 5 छोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या" स्वयं 5 है (भागफल 0), इसलिए SSC सबसे छोटी तीन-अंकीय संख्या पूछता है। साथ ही शेषफल हर भाजक से छोटा होना चाहिए।
9. मापक छड़, कटाई और बँटवारा (HCF)
नियम "सबको ठीक-ठीक मापने वाली सबसे बड़ी लंबाई", "बिना बर्बादी सबसे लंबे बराबर टुकड़े", "बिना कुछ बचाए अधिक-से-अधिक एक जैसे पैकेट" — तीनों HCF हैं। रखने / टुकड़ों / प्रति पैकेट वस्तुओं की संख्या = हर मात्रा ÷ HCF।
उदाहरण रस्सियाँ 84 सेमी, 126 सेमी, 210 सेमी। HCF = 42 सेमी। टुकड़े: 2 + 3 + 5 = 10।
उदाहरण 96 सेब, 144 संतरे, 216 आम → HCF 24 टोकरियाँ, हर एक में 4 + 6 + 9 = 19 फल।
उदाहरण (बचे हुए के साथ) 130 गुलाब और 175 लिली, और 4 गुलाब तथा 7 लिली बच जाती हैं → HCF(126, 168) = 42 गुलदस्ते। उत्तर हर बचे हुए से बड़ा होना चाहिए।
शॉर्टकट a × b के फर्श की सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा HCF(a, b) है; टाइलें = (a ÷ HCF) × (b ÷ HCF)।
ट्रैप HCF लेने से पहले मीटर-सेंटीमीटर को सेंटीमीटर में बदलिए। 3 मी 60 सेमी = 360, न 3.6 न 36।
10. शेषफल छोड़ने वाला सबसे बड़ा भाजक (HCF)
| प्रकार | विधि | उदाहरण |
|---|
| एक ही शेषफल, बताया नहीं | संख्याओं के अंतरों का HCF | 1237, 1849, 2665: अंतर 612, 816, 1428 → HCF 204। शेषफल = 1237 mod 204 = 13 |
| एक ही शेषफल r, बताया | हर एक में से r घटाकर HCF | 317, 629, 1097 पर शेषफल 5 → HCF(312, 624, 1092) = 156 |
| अलग-अलग शेषफल, बताए | हर एक में से उसका अपना शेषफल घटाकर HCF | 1096 से 4 और 1375 से 7 शेष → HCF(1092, 1368) = 12 |
अंतर क्यों काम करते हैं यदि a = nq₁ + r और b = nq₂ + r, तो a − b = n(q₁ − q₂)। एक ही शेषफल कट जाता है, अतः n हर अंतर को बाँटता है।
ट्रैप भाजक हर शेषफल से बड़ा होना चाहिए। HCF 8 और बताया गया शेषफल 8 असंभव है।
शॉर्टकट एक ही शेषफल देने वाला हर भाजक उस HCF का गुणनखंड है। "ऐसे कितने भाजक 20 से बड़े हैं?" → HCF के 20 से (और शेषफल से) बड़े गुणनखंड गिनिए।
11. अनुपात वाली संख्याएँ; गुणनफल या योग से जोड़ियाँ
नियम (अनुपात) a : b : c (कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं) अनुपात वाली संख्याएँ ha, hb, hc हैं। तब HCF = h और LCM = h × LCM(a, b, c)। भिन्न-अनुपात: हरों के LCM से गुणा कीजिए, फिर सरल कीजिए।
उदाहरण अनुपात 3 : 4 : 5, HCF 14 → संख्याएँ 42, 56, 70, LCM = 14 × 60 = 840।
उदाहरण अनुपात 1/2 : 1/3 : 1/4 → × 12 → 6 : 4 : 3। LCM 72 → h = 72 ÷ 12 = 6 → संख्याएँ 36, 24, 18, HCF 6।
नियम (गुणनफल दिया) गुणनफल P और HCF h: ha, hb लिखिए जहाँ ab = P ÷ h², a और b सह-अभाज्य। P ÷ h² का हर सह-अभाज्य विभाजन एक जोड़ी है। LCM तय है: P ÷ h।
नियम (योग दिया) योग S और HCF h: a + b = S ÷ h, a और b सह-अभाज्य। हर सह-अभाज्य विभाजन एक जोड़ी; जोड़ी का LCM hab।
उदाहरण योग 144, HCF 12 → a + b = 12 → सह-अभाज्य विभाजन (1, 11), (5, 7) → जोड़ियाँ (12, 132) और (60, 84)। LCM 132 और 420।
नियम (व्युत्क्रम) 1/x + 1/y = (x + y) ÷ (xy) और xy = HCF × LCM। योग 64, HCF 8, LCM 120 → 64 ÷ 960 = 1/15।
ट्रैप पहले अनुपात सरल कीजिए। 6 : 9 असरल रहने पर h HCF नहीं रहता; 6 : 9 = 2 : 3।
12. पूर्ण वर्ग, n-अंकीय संख्याएँ, बहुपद
समुच्चय से विभाज्य सबसे छोटा पूर्ण वर्ग / घन LCM लीजिए। वर्ग के लिए हर अभाज्य घात सम चाहिए, घन के लिए 3 का गुणज। जो कम हो उससे गुणा कीजिए।
उदाहरण LCM(6, 15, 20) = 60 = 22·3·5। 3 और 5 की घातें विषम → × 15 → सबसे छोटा वर्ग 900। 12 और 18 से विभाज्य सबसे छोटा घन: LCM 36 = 22·32 → × 6 → 216।
सीमा में गुणज गिनना 1 से N तक L के गुणज: ⌊N ÷ L⌋। 60 के चार-अंकीय गुणज: ⌊9999/60⌋ − ⌊999/60⌋ = 166 − 16 = 150।
बहुपद पूरे गुणनखंड कीजिए। HCF = सबसे छोटी घातों पर उभयनिष्ठ गुणनखंड; LCM = हर गुणनखंड सबसे बड़ी घात पर। HCF × LCM = दोनों व्यंजकों का गुणनफल, ठीक संख्याओं की तरह।
उदाहरण x² − 4 = (x − 2)(x + 2) और x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)। HCF = x − 2, LCM = (x − 2)(x + 2)(x + 1)। यदि x² + 5x + 6 और x² + ax + 8 का HCF x + 2 हो, तो दूसरे में x = −2 रखिए: 4 − 2a + 8 = 0 → a = 6।
अक्षरों में HCF(n, n + 1) = 1; सम n के लिए HCF(n, n + 2) = 2; LCM(n, n + 1) = n(n + 1); HCF(2n + 1, n) = 1; HCF(6n + 4, 4n + 2) = 2।
13. माइंड मैप और ट्रैप
माइंड मैप
सबसे बड़ा चाहिए जो बाँटे / मापे / पैक करे → HCF
सबसे छोटा चाहिए जो विभाज्य हो / साथ दोहराए / सबमें बैठे → LCM
एक ही शेषफल बताया नहीं → अंतरों का HCF | बताया → घटाकर HCF
भाग पर एक ही शेषफल → L·k + r | स्थिर अंतर d → L·k − d
दो दिए, तीसरा चाहिए (दो संख्याएँ) → a·b = HCF·LCM
अनुपात a : b → ha, hb; HCF = h; LCM = hab
भिन्नें → LCM(अंश)/HCF(हर), HCF(अंश)/LCM(हर)
दशमलव → भरिए, दशमलव हटाइए, दशमलव वापस लगाइए
सात ट्रैप
- गुणनफल नियम तीन संख्याओं पर लगाना।
- भिन्न-नियम से पहले भिन्नें सरल न करना।
- LCM/HCF से पहले मिली-जुली इकाइयाँ (मी और सेमी, मिनट और से) न बदलना।
- शुरुआत वाली बार गिनना — "कितनी बार" बनाम "और कितनी बार"।
- शेषफल भाजक से बड़ा — असंभव, प्रश्न आपको कुछ बता रहा है।
- भाग की सीढ़ी में नीचे की पंक्ति भूलना।
- h को HCF मानने से पहले अनुपात सरलतम रूप में न लाना।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
दो बड़ी संख्याओं का HCF सबसे तेज़ कैसे निकालें?
Euclid की विधि: बड़ी को छोटी से भाग दीजिए, फिर भाजक को शेषफल से, और दोहराइए। अंतिम शून्येतर शेषफल HCF है।
क्या HCF × LCM = गुणनफल तीन संख्याओं के लिए सही है?
नहीं — केवल दो के लिए। 2, 4, 8 का HCF 2, LCM 8, गुणनफल 64।
"एक ही शेषफल" वाले प्रश्न कैसे हल करें?
शेषफल बताया नहीं: अंतरों का HCF। बताया: हर संख्या में से घटाकर HCF। भाजक शेषफल से बड़ा होना चाहिए।
भिन्नों का LCM क्या होता है?
अंशों का LCM ÷ हरों का HCF, हर भिन्न सरलतम रूप में। भिन्नों का HCF अंशों का HCF ÷ हरों का LCM है।
SSC CGL में इस अध्याय से कितने प्रश्न आते हैं?
आम तौर पर Tier I में 1–2 और Tier II में 1–2 — घंटियाँ, शेषफल, मापक छड़ और अनुपात वाली जोड़ियाँ। छोटा अध्याय, पक्के अंक।