SSC CGL, CHSL, CPO और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं के लिए विभाज्यता का हर नियम — हर नियम क्यों काम करता है, किसी भी भाजक का नियम कैसे बनाएँ, गायब अंक, गिनती और शेषफल वाले प्रश्न-प्रकार, और वे बीजगणितीय प्रतिरूप जो सदैव विभाज्य होते हैं। चैप्टर टेस्टों में जो भी concept आता है, वह सब यहाँ शून्य से समझाया गया है।
SSC मात्रात्मक अभियोग्यता में विभाज्यता सबसे तेज़ अंक दिलाने वाला विषय है। विभाज्यता के प्रश्न में प्रायः कोई वास्तविक गणना नहीं करनी पड़ती — सही नियम चाहिए, सही अंकों पर लगाया हुआ, तीस सेकंड से कम में। इस अध्याय के प्रश्न SSC CGL, SSC CHSL, SSC CPO, SSC MTS और लगभग हर प्रतियोगी परीक्षा में आते हैं, और HCF-LCM, शेषफल तथा संख्या-प्रतिरूप वाले प्रश्नों के भीतर भी छिपे रहते हैं।
ये नोट्स हर नियम शुरू से समझाते हैं — केवल यह नहीं कि नियम क्या कहता है, बल्कि यह भी कि वह क्यों काम करता है, क्योंकि "क्यों" ही आपको उस भाजक का नियम बनाने देता है जो आपने पहले कभी नहीं देखा। हर नियम के साथ हल किया हुआ उदाहरण, परीक्षा का शॉर्टकट, और वह भूल है जो सबसे अधिक अंक कटवाती है।
नोट्स विधि ठीक करते हैं; गति केवल अभ्यास से आती है। इन्हें एक tab में खुला रखिए और दूसरे में टेस्ट — पहले इसी अध्याय के टेस्ट दीजिए, और नियम अपने आप आने लगें तो पूरे पेपर की ओर बढ़िए।
तीन स्तरों में बँटे टेस्ट, इन्हीं नोट्स से जुड़े हुए। हर प्रश्न के साथ चरण-दर-चरण हल।
अभ्यास शुरू कीजिए पिछले वर्षशिफ्ट-वार असली CGL पेपर, उत्तर कुंजी और पूरे हल के साथ। सचमुच क्या पूछा जाता है, यह जानने का सबसे अच्छा तरीका।
PYQ हल कीजिए पिछले वर्षशिफ्ट-वार CHSL पेपर, पूरे हल के साथ। CHSL, CPO और MTS — तीनों के अभ्यर्थियों के लिए उपयोगी।
PYQ हल कीजिए पूर्ण पेपरअसली परीक्षा के समय पर पूरे पेपर, करेंट अफेयर्स सहित और हर प्रयास के बाद विस्तृत हल।
मॉक टेस्ट दीजिएइन नोट्स का प्रयोग कैसे करें: एक खंड पढ़िए, उदाहरण को हाथ से ढँकिए, स्वयं हल कीजिए, फिर मिलाइए। जो नियम केवल पढ़ा है वह शाम तक भूल जाता है। जो नियम एक बार प्रयोग किया है वह टिकता है।
कोई संख्या N किसी d से विभाज्य है जब N को d से भाग देने पर कोई शेषफल नहीं बचता। इसे "d, N को विभाजित करता है", "N, d का गुणज है", या "d, N का गुणनखंड है" भी कहते हैं — चारों का एक ही अर्थ है।
भाग-क्रिया का नियम (division algorithm)। हर भाग के लिए भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल, और शेषफल सदैव भाजक से छोटा होता है। विभाज्यता वह विशेष स्थिति है जहाँ शेषफल 0 है।
यह एक पंक्ति प्रश्नों के पूरे परिवार का उत्तर देती है। यदि किसी भाग में 13 बचे, और भाजक शेषफल का 19 गुना तथा भागफल का 13 गुना हो, तो भाजक = 247, भागफल = 19, और भाज्य = 247 × 19 + 13 = 4706। सदैव उस राशि से शुरू कीजिए जो वास्तव में दी गई है।
दो धनात्मक संख्याओं का योग 6318 है। बड़ी को छोटी से भाग देने पर 11 मिलता है और 18 बचता है। छोटी ज्ञात कीजिए।
छोटी S मानिए। तब बड़ी 11S + 18 है, और योग 11S + 18 + S = 12S + 18 = 6318।
अतः 12S = 6300 और S = 525। जाँच: 11 × 525 + 18 = 5793, और 5793 + 525 = 6318 ✔
जाल: यदि प्रश्न योग के बदले अंतर दे, तो गुणांक 11 − 1 = 10 होता है, 11 + 1 = 12 नहीं। एक शब्द तय करता है कि कौन-सा। अंकगणित प्रायः चेतावनी नहीं देता — 6300 ÷ 10 = 630 पूरी तरह सम्मानजनक दिखता है।
एक संख्या को 8 से और अलग से 14 से भाग देने पर दोनों बार शेषफल नहीं बचता, और पहला भागफल दूसरे से 9 अधिक है। संख्या ज्ञात कीजिए।
N/8 − N/14 = 9। LCM 56 पर: 7N/56 − 4N/56 = 3N/56 = 9, अतः N = 168।
जाँच: 168 ÷ 8 = 21, 168 ÷ 14 = 12, और 21 − 12 = 9 ✔
"3 और 9 दोनों से विभाज्य" का अर्थ "27 से विभाज्य" नहीं है। 3 और 9 co-prime नहीं हैं — उनमें 3 उभयनिष्ठ है — अतः दोनों परीक्षण पार करना केवल 9 की गारंटी देता है। यही एक विचार (co-prime भाग) पूरे अध्याय में चलता है; खंड 7 इसे स्पष्ट करता है।
ये सब नियम अंतिम कुछ अंक पढ़ते हैं — भाजक में 2 के हर गुणनखंड के लिए एक अंक।
| भाजक | देखिए | क्यों | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| 2 | अंतिम 1 अंक — 0, 2, 4, 6, 8 होना चाहिए | 10 = 2 × 5 | 4738 ✔ |
| 4 | अंतिम 2 अंक 4 का गुणज बनाएँ | 100 = 4 × 25 | 7316 → 16 ✔ |
| 8 | अंतिम 3 अंक 8 का गुणज बनाएँ | 1000 = 8 × 125 | 17512 → 512 ✔ |
| 16 | अंतिम 4 अंक 16 का गुणज बनाएँ | 10000 = 16 × 625 | 4173840 → 3840 ✔ |
| 32 | अंतिम 5 अंक 32 का गुणज बनाएँ | 100000 = 32 × 3125 | 57529696 → 29696 ✔ |
अंतिम k अंकों से ऊपर का सब 10k का गुणज है, और 10k = 2k × 5k। अतः वे ऊँचे अंक 2k पर शेषफल में कुछ नहीं जोड़ते। केवल अंतिम k अंक मायने रखते हैं।
भाजक में 2 गिनिए फिर तय कीजिए कितने अंक पढ़ने हैं। 112 = 24 × 7 को चार अंक चाहिए, तीन नहीं — 8 का नियम ग़लत संख्याएँ निकाल देगा।
पहले स्थिर भाग घटाइए। 8 के नीचे 7x7y16 के रिक्त स्थान के लिए: अंतिम तीन अंक y16 = 100y + 16। 16 पहले से 8 का गुणज है, और 100y 4y छोड़ता है। अतः 4y को 8 का गुणज होना चाहिए, अर्थात् y सम। 100 को उसके शेषफल 4 में घटाने से तीन-अंकीय परीक्षण एक पंक्ति की शर्त बन जाता है।
कौन-सा अंक z 8 को 4718z6 विभाजित करने देता है?
अंतिम तीन अंक: 8z6 = 806 + 10z। अब 806 8 पर 6 छोड़ता है, और 10z 2z। 6 + 2z को 8 का गुणज होना चाहिए, अर्थात् 3 + z 4 का गुणज, अतः z = 1, 5 या 9। स्वीकार्य अंक 4 की दूरी पर हैं क्योंकि 8 पर 10 का शेषफल 2 है, और 10 के चार कदम 40 जोड़ते हैं, जो 8 का गुणज है।
4 के नियम में अंतिम दो अंक एक खंड हैं। 9080xy में x और y मिलकर 4 का गुणज बनाएँ — 04, 16, 28, 40, 52, 64, 76, 88 — अलग-अलग नहीं। उन्हें एक दो-अंकीय संख्या की तरह परखिए।
वही अंतिम-अंकों का विचार, पर अब 5 के हर गुणनखंड के लिए एक अंक।
| भाजक | परीक्षण | उदाहरण |
|---|---|---|
| 5 | अंत 0 या 5 से | 2350 ✔ |
| 10 | अंत 0 से | 8970 ✔ |
| 25 | अंतिम दो अंक 00, 25, 50 या 75 | 3675 ✔ |
| 125 | अंतिम तीन अंक 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875 | 548625 ✔ |
| 625 | अंतिम चार अंक 625 का गुणज बनाएँ | 675000 ✔ |
ये अध्याय की सबसे सस्ती छलनियाँ हैं। जब भी भाजक में 5 हो, अंतिम अंक पहले पढ़िए। "इनमें से कौन 45 से विभाज्य है" प्रश्न में चार में से तीन विकल्प प्रायः अकेले अंतिम अंक पर मर जाते हैं। और जब रिक्त स्थान अंतिम जगह पर हो, 5 का नियम उसे किसी अंकगणित से पहले ही दो मानों (0 या 5) पर बाँध देता है।
25 और 7 में से कोई 10x6367y में कुछ पीछे नहीं छोड़ता। x × y ज्ञात कीजिए।
अंतिम दो अंक 7y हैं। चारों अनुमत अंतों में 7 से शुरू होने वाला केवल 75 है — अतः y = 5 केवल दो अंकों से। y बँधने पर 7 के परीक्षण में एक अज्ञात बचता है: 10x63675 = 10063675 + 100000x, जो 7 पर 6 + 5x छोड़ता है, अतः x = 3। उत्तर 15। 25 के नियम ने कठिन काम एक नज़र में कर दिया।
10 का नियम रिक्त स्थान को ठीक एक मान (0) पर बाँधता है, 5 का दो पर, 25 का चार अंतों पर। जो नियम सबसे कम सम्भावनाएँ दे उसे पहले चलाइए — वह हर बाद वाले नियम को छोटी समस्या सौंपता है।
कोई संख्या 3 से विभाज्य है जब उसका अंक-योग 3 से विभाज्य हो, और 9 से जब अंक-योग 9 से विभाज्य हो। इससे भी अधिक: कोई संख्या और उसका अंक-योग 3 पर और 9 पर समान शेषफल छोड़ते हैं। अतः अंक-योग शेषफल बताता है, केवल हाँ-या-ना नहीं।
क्यों: 10 = 9 + 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 999 + 1। 10 की हर घात 9 पर (और 3 पर) शेषफल 1 छोड़ती है। अतः हर अंक शेषफल में केवल स्वयं जोड़ता है, और अंक जोड़ना सब कुछ पकड़ लेता है।
4728635 को 9 से भाग देने पर क्या बचता है?
अंक-योग 4+7+2+8+6+3+5 = 35, और 3+5 = 8। शेषफल 8। नौ निकालना (casting out nines): जोड़ने से पहले कोई भी 9 और 9 योग वाला कोई भी युग्म हटा दीजिए — यहाँ 4+5 और 7+2 हटते हैं, बचता है 8+6+3 = 17 → 8। वही उत्तर, आधा काम।
z4728 का रिक्त स्थान आगे है और 9 को परिणाम विभाजित करना है। z ज्ञात कीजिए।
अंक-योग 21 + z। 21 से 30 में 9 का एकमात्र गुणज 27, अतः z = 6। ध्यान दीजिए कि आगे की जगह z = 0 को वर्जित करती है — आगे शून्य संख्या छोटी कर देता। यहाँ इससे फ़र्क़ नहीं पड़ा, पर दूसरी संख्या पर पड़ता।
3 के नियम पर स्वीकार्य अंक 3 की दूरी पर, 9 के नियम पर 9 की दूरी पर। अतः 3 के नीचे रिक्त स्थान के प्रायः तीन या चार उत्तर होते हैं (1, 4, 7 या 0, 3, 6, 9 जैसी शृंखला), जबकि 9 के नीचे ठीक एक। स्थिर अंकों का शेषफल पढ़िए और पूरी सूची निकल आती है।
27 का कोई अंक-योग नियम नहीं है। अंक-योग 9 तय करता है, उससे अधिक नहीं। 27 (या 81) के लिए अंक-योग को छलनी की तरह प्रयोग करके मैदान एक-दो उम्मीदवारों तक काटिए, फिर भाग से पुष्टि कीजिए। 9 को पर्याप्त मानना इस प्रकार की सबसे आम भूल है — वह एक झूठा दूसरा उत्तर खड़ा छोड़ देती है। उदाहरण: 135 = 27 × 5 के नीचे 660x332y के लिए 9 की छलनी (7,0) और (2,5) देती है; केवल 66073320 ÷ 27 = 2447160 पूर्ण है, अतः (7,0) उत्तर है।
अंकों को दाईं ओर से लिखिए। विषम स्थानों के अंक जोड़िए, सम स्थानों के अंक जोड़िए, और घटाइए। संख्या 11 से विभाज्य है जब वह अंतर 0 या 11 का गुणज हो (धनात्मक या ऋणात्मक)। 0 से 10 में लाने पर वह अंतर शेषफल भी देता है — −2 का अंतर शेषफल 9 है।
क्यों: 10 = 11 − 1, 100 = 99 + 1, 1000 = 1001 − 1। 10 की घातें 11 पर बारी-बारी +1 और −1 छोड़ती हैं, अतः अंकों को बारी-बारी चिह्न मिलते हैं।
कौन-सा अंक z 11 को 4z8153 विभाजित करने देता है?
दाईं ओर से: 3, 5, 1, 8, z, 4। विषम स्थान 3+1+z = 4+z; सम स्थान 5+8+4 = 17। अंतर z − 13, जो अंक के लिए −13 से −4 के बीच है। वहाँ 11 का एकमात्र गुणज −11, अतः z = 2।
रिक्त स्थान की जगह उसका चिह्न बदल देती है। z एक स्थान खिसका होता तो शर्त −4 − z पढ़ी जाती और उत्तर 2 के बदले 7 होता। अंक सौंपने से पहले दाईं ओर से स्थान गिनिए।
11 के नीचे दो रिक्त स्थान प्रायः योग देते हैं, अंक नहीं। 25x493y में 11 की शर्त x + y − 1 निकलती है, अतः x + y = 1 या 12। 3 के नियम (x + y शेषफल 1 दे) के साथ केवल x + y = 1 बचता है — दो अलग संख्याएँ चलती हैं, पर अंकों का योग बँधा है। इसीलिए प्रश्न x + y माँगता है।
11 से भाग देने पर 7392648 10 छोड़ती है। कम से कम कितना घटाएँ कि वह 3 छोड़े?
k घटाने पर शेषफल k घटता है: 10 − k = 3 से k = 7। 7392641 पर नियम से जाँच: विषम योग 23, सम योग 9, अंतर 14 → 14 − 11 = 3 ✔। याद रखने योग्य नियम: शेषफल r से लक्ष्य t तक नीचे जाने के लिए (r − t) mod 11 घटाइए।
इनका कोई अंक-योग या एकांतर-योग नियम नहीं। तीन औज़ार इन्हें सँभालते हैं: 1001 विधि, 999 विधि, और osculator।
1001 = 7 × 11 × 13, अतः इन तीनों पर 1000 ≡ −1। संख्या को दाईं ओर से तीन-अंकीय खंडों में तोड़िए और चिह्न बारी-बारी लगाइए। परिणाम मूल संख्या जैसा ही शेषफल छोड़ता है।
8471625 → 625 − 471 + 8 = 162 → 162 = 7 × 23 + 1, अतः 7 पर शेषफल 1। एक बार तोड़िए, और वही 162 11 और 13 पर भी शेषफल देता है।
999 = 27 × 37, अतः इन दोनों पर 1000 ≡ +1। दाईं ओर से तीन-अंकीय खंड लीजिए और बस जोड़िए — चिह्न बदलने की ज़रूरत नहीं। 6095084 → 84 + 95 + 6 = 185 = 37 × 5, अतः 37 उसे विभाजित करता है।
दोनों को गड्डमड्ड मत कीजिए: 1001 बारी-बारी (−1), 999 जोड़ (+1)। उलझाने पर दोनों के लिए ग़लत उत्तर आते हैं।
अंतिम अंक अलग कीजिए, उसे osculator से गुणा कीजिए, और बचे भाग में जोड़िए या घटाइए। छोटी संख्या आने तक दोहराइए। परिणाम भाजक का गुणज हो तो मूल संख्या भी थी। Osculator भाजक के उस निकटतम गुणज से आता है जो 1 या 9 पर समाप्त हो:
| भाजक | 1 या 9 पर समाप्त निकटतम गुणज | Osculator | क्रिया |
|---|---|---|---|
| 7 | 21 | 2 | घटाइए |
| 13 | 39 | 4 | जोड़िए |
| 17 | 51 | 5 | घटाइए |
| 19 | 19 | 2 | जोड़िए |
| 23 | 69 | 7 | जोड़िए |
| 29 | 29 | 3 | जोड़िए |
| 31 | 31 | 3 | घटाइए |
चिह्न का नियम: गुणज 9 पर समाप्त हो (दहाई से एक कम) तो जोड़िए; 1 पर समाप्त हो (दहाई से एक अधिक) तो घटाइए। 19 → 2 जोड़िए; 21 → 2 घटाइए।
1769603, 2894811, 3442257, 4741485 में से कौन 31 का गुणज है?
Osculator −3। 2894811 के लिए: 289481 − 3 = 289478; 28947 − 24 = 28923; 2892 − 9 = 2883; 288 − 9 = 279 = 31 × 9। अतः 2894811। बाक़ी तीन 167, 323 और 448 पर समाप्त होते हैं — कोई 31 का गुणज नहीं।
Osculator विभाज्यता जाँचता है पर शेषफल नहीं बताता। प्रश्न पूछे "17 पर क्या बचता है", तो चरणबद्ध भाग कीजिए (17 × 300000 छीलिए, फिर 17 × 70000, इत्यादि) — भागफल टुकड़ों से खुद जुड़ जाता है और शेषफल अंत में निकल आता है।
7 या 13 के नीचे रिक्त स्थान के लिए स्थानीय मान से तोड़िए। 2z6134 = 206134 + 10000z। हर टुकड़ा घटाइए: 206134 7 पर 5 छोड़ता है, 10000 4। अतः संख्या 5 + 4z छोड़ती है, और z = 4 ही एकमात्र अंक है जो उसे 7 का गुणज बनाता है। अज्ञात खंड के भीतर हो तो यह खंड-विधि से छोटा और सुरक्षित है।
किसी संयुक्त भाजक को परखने के लिए उसे ऐसे भागों में तोड़िए जो co-prime हों (1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं) और हर भाग को परखिए। जो संख्या सभी भाग-परीक्षण पार करे वह उनके गुणनफल से विभाज्य है। 72 = 8 × 9; 45 = 5 × 9; 264 = 8 × 3 × 11; 132 = 4 × 3 × 11; 165 = 3 × 5 × 11।
co-prime क्यों ज़रूरी है: भाग कोई गुणनखंड साझा करें तो दोनों पार करना केवल उनके LCM की गारंटी देता है, जो गुणनफल से छोटा है। 24 को 4 × 6 में तोड़ना ग़लत है — 12 दोनों पार करता है और 24 का गुणज नहीं। 8 × 3 लीजिए।
| भाजक | विभाजन | भाजक | विभाजन |
|---|---|---|---|
| 6 | 2 × 3 | 72 | 8 × 9 |
| 12 | 4 × 3 | 88 | 8 × 11 |
| 15 | 3 × 5 | 99 | 9 × 11 |
| 18 | 2 × 9 | 104 | 8 × 13 |
| 22 | 2 × 11 | 112 | 16 × 7 |
| 24 | 8 × 3 | 117 | 9 × 13 |
| 33 | 3 × 11 | 126 | 2 × 9 × 7 |
| 36 | 4 × 9 | 144 | 16 × 9 |
| 44 | 4 × 11 | 168 | 8 × 3 × 7 |
| 45 | 5 × 9 | 176 | 16 × 11 |
| 48 | 16 × 3 | 189 | 27 × 7 |
| 55 | 5 × 11 | 198 | 2 × 9 × 11 |
| 56 | 8 × 7 | 208 | 16 × 13 |
| 63 | 9 × 7 | 216 | 8 × 27 |
| 66 | 2 × 3 × 11 | 224 | 32 × 7 |
परीक्षणों को इस क्रम में लगाइए कि हर एक कितने उम्मीदवार मारता है। "इन चार में से कौन" प्रश्न में: पहले सम-विषम (मुफ़्त), फिर अंतिम अंक, फिर अंक-योग, और तब जाकर महँगा 7 या 13 का परीक्षण — एक बचे हुए पर। चार में से तीन उम्मीदवार प्रायः किसी असली अंकगणित से पहले ही मर जाते हैं।
393831, 399500, 815472, 872704 में से किसे 168 विभाजित करता है?
168 = 8 × 3 × 7। सम-विषम: 393831 विषम, बाहर। अंक-योग: 399500 → 26, 872704 → 28, दोनों 3 पर गिरते हैं; 815472 → 27 ✔। केवल 815472 को 7 का परीक्षण चाहिए: 472 − 815 = −343 = 7 × (−49) ✔। उत्तर 815472। ध्यान दीजिए 872704 8 आसानी से पार करता है और केवल 3 पर गिरता है — सबसे कठिन दिखने वाला नियम पार करना सबसे आसान वाले के बारे में कुछ नहीं कहता।
"दो बार 6 से विभाज्य" 36 नहीं है। 6 × 6 सब कुछ साझा करता है, अतः कोई संख्या 6 का परीक्षण पार करके 36 पर गिर सकती है — 18 गिरती है। 36 को 4 × 9 में तोड़िए। सामान्यतः किसी भाजक को एक ही गुणनखंड की दो प्रतियों में कभी मत तोड़िए।
एक नियम के नीचे एक रिक्त स्थान। रिक्त स्थान को अज्ञात मानकर नियम लगाइए, और पढ़िए कि 0 से 9 में कौन-से अंक उसे पूरा करते हैं। फिर प्रश्न इकलौता अंक, सबसे बड़ा, सबसे छोटा, सभी स्वीकार्य अंकों का योग, या उनकी गिनती माँगता है।
कौन-सा अंक 9 को 7z3821 विभाजित करने देता है? अंक-योग 21 + z; केवल 27 पहुँच में, अतः z = 6।
कई अंक 4 को 3z4 विभाजित करने देते हैं। सबसे बड़ा घटा सबसे छोटा? अंतिम दो अंक z4 = 10z + 4, z सम चाहिए: 0, 2, 4, 6, 8। अतः 8 − 0 = 8। जाल यह भूलना है कि 0 स्वीकार्य है — रिक्त स्थान आगे नहीं है।
कई अंक 3 को 62z471 विभाजित करने देते हैं। दूसरा सबसे छोटा कौन-सा? अंक-योग 20 + z, z को शेषफल 1 देना है: 1, 4, 7। दूसरा सबसे छोटा 4।
शून्य। संख्या के भीतर 0 पूरी तरह वैध अंक है और प्रायः इकलौता उत्तर होता है — 11 के नीचे 94z27615 z = 0 देता है और कुछ नहीं। संख्या के आगे 0 वर्जित है क्योंकि वह संख्या छोटी कर देता। कुछ भी मानने से पहले देखिए कि रिक्त स्थान कहाँ है।
स्थिर भाग का शेषफल पढ़िए, फिर भाजक में से घटाइए। 9 के नीचे 38z14 के लिए स्थिर अंकों का योग 16 है, जो 7 छोड़ता है; अतः z को 9 − 7 = 2 देना है। सूची के बदले एक घटाव। पर सहज भूल से बचिए: उत्तर अगले गुणज तक की दूरी है, स्वयं शेषफल नहीं।
68x338y 72 का गुणज है। x + y ज्ञात कीजिए।
72 = 8 × 9। अंतिम तीन अंक 38y = 380 + y; 380 8 पर 4 छोड़ता है, अतः y = 4। अंक-योग 28 + x + 4 = 32 + x; केवल 36 पहुँच में, अतः x = 4। उत्तर 8। हर नियम ने एक अंक बाँधा।
82x298y 7 और 12 दोनों को मानता है। सबसे बड़ा x × y?
4 का नियम: y = 0, 4 या 8। 3 का नियम: x + y शेषफल 1 दे। 7 का परीक्षण: 82x298y = 8202980 + 10000x + y, और 8202980 2 छोड़ता है, 10000 4, अतः संख्या 2 + 4x + y छोड़ती है। y पर शाखा: y = 0 से x = 3 पर 3 पर गिरता है; y = 4 से x = 2 या 9, केवल (9,4) 3 पार करता है; y = 8 से x = 1 या 8, केवल (8,8) 3 पार करता है। गुणनफल 36 और 64 → 64। 7 से पाँच उम्मीदवार, सस्ते 3 के नियम ने दो कर दिए।
4A3B4 के अंकों का गुणनफल 12 है और 36 संख्या को विभाजित करता है। A + B ज्ञात कीजिए।
A × B = 12 से केवल (2,6), (3,4), (4,3), (6,2)। 4 के नियम को B सम चाहिए, बचे (2,6), (3,4), (6,2)। 9 के नियम को 11 + A + B 9 का गुणज चाहिए, अर्थात् A + B = 7 → केवल (3,4)। उत्तर 7। गुणनफल की शर्त ने एक पंक्ति में सौ स्थितियाँ चार कर दीं।
गुणज खोजने से पहले सम्बन्ध की अनुमत परास तय कीजिए। A = B + 3 हो तो B ≤ 6; B = 2A हो तो A ≤ 4। सीमा के बिना B = 10 जैसा "हल" फिसल आता है और अंत तक ठीक दिखता है।
योग बँधा हो और गुणनफल पूछा जाए तो सबसे संतुलित युग्म जीतता है। x + y = 13 हो तो (7,6) (9,4) और (5,8) को हराता है। वर्ग पूछे जाएँ तो सबसे बड़े एकल अंक वाला युग्म प्रायः जीतता है, पर हर वैध युग्म निकालिए — (3,8) 73 देता है जबकि (8,2) केवल 68।
"रिक्त स्थान कितने प्रकार से भरे जा सकते हैं" दो-रिक्त-स्थान वाली विधि है जिसके अंत में चुनने के बदले गिनना है। अंतिम-अंकों के नियम से बँधे रिक्त स्थान पर शाखा बनाइए, हर शाखा में दूसरे रिक्त स्थान के मान गिनिए, और जोड़िए।
कितने युग्म (x, y) 24 को 72x4y6 विभाजित करने देते हैं?
4y6 = 406 + 10y पर 8 का नियम: y = 1, 5 या 9 चाहिए। 3 का नियम: 19 + x + y, अतः x + y शेषफल 2 दे।
y = 1 → x = 1, 4, 7 (3 युग्म)। y = 5 → x = 0, 3, 6, 9 (4 युग्म)। y = 9 → x = 2, 5, 8 (3 युग्म)। कुल 10।
एक शाखा चार देती है क्योंकि उसकी x-मानों की शृंखला 0 से शुरू होती है।
बँधे योग t वाले युग्म। t ≤ 9 पर t + 1 युग्म (0..t); t ≥ 10 पर 19 − t। अतः योग 6 7 युग्म देता है, 10 9, 15 4। बीच वाले योग सबसे समृद्ध हैं। 9 के नीचे योग 9 की दूरी पर होते हैं, अतः केवल दो ही पहुँच में होते हैं और गिनतियाँ छोटी रहती हैं।
(0,0) तब गिना जाता है जब कोई भी रिक्त स्थान संख्या के आगे न हो। आदतन शून्य फेंकने पर 15 के नीचे 393xy के लिए 7 के बदले 6 आता है — और 6 भटकाने को दिया गया है।
1 से n तक k के गुणज: ⌊n/k⌋ (दशमलव भाग हटा दीजिए)।
a से b तक k के गुणज: ⌊b/k⌋ − ⌊(a−1)/k⌋ — दूसरा पद शुरुआत से नीचे का सब
हटा देता है। a नहीं, a − 1 लीजिए, ताकि a योग्य हो तो स्वयं गिना जाए।
| प्रश्न | गिनती | उदाहरण |
|---|---|---|
| a और b से विभाज्य | LCM(a,b) के गुणज | 1 से 2400 तक 16 और 20 से: LCM 80 → 30 |
| a या b से विभाज्य | n(a) + n(b) − n(LCM) | 500 से 2000 तक 9 या 12 से: 167 + 125 − 42 = 250 |
| a से पर b से नहीं | n(a) − n(LCM) | 1 से 900 तक 7 से पर 21 से नहीं: 128 − 42 = 86 |
| a से, b से नहीं, c से नहीं | n(a) − n(ab) − n(ac) + n(abc) | 1 से 1200 तक 5 से, 3 और 4 से नहीं: 240 − 80 − 60 + 20 = 120 |
अतिव्याप्ति का भाजक LCM है, गुणनफल नहीं। 9 या 12 के लिए अतिव्याप्ति 36 है, 108 नहीं। 7 पर 21 नहीं के लिए अतिव्याप्ति स्वयं 21 है (एक भाजक दूसरे को पहले से समेटे है)। गुणनफल लेने से अतिव्याप्ति कम गिनी जाती है और उत्तर फूल जाता है।
31 के गुणजों की गिनती, 1 से किसी छत N तक, 96 पढ़ती है। N अधिक से अधिक कितना?
⌊N/31⌋ = 96 का अर्थ 31 × 96 ≤ N < 31 × 97, अर्थात् 2976 ≤ N < 3007। सबसे ऊँचा 3006। जाल 2976 है — वह 96 देने वाली सबसे नीची छत है, सबसे ऊँची नहीं। एक गुणज से अगले तक गिनती बदलती नहीं।
छोटे खंड से जाँचिए। प्रतिरूप हर LCM पर दोहराता है। "5 से, 3 और 4 से नहीं" के लिए 1 से 60 के खंड में छह योग्य संख्याएँ हैं (5, 10, 25, 35, 50, 55), और 1200 = 20 खंड → 120। परास खंडों की पूरी संख्या हो तो यह समावेशन–अपवर्जन के अंकगणित की एक चरण में पुष्टि कर देता है।
एक बार भाग दीजिए: N = qk + r। तब
658341 173 के किसी गुणज से नीचे है। उसे कितना चढ़ना होगा?
173 × 3805 = 658265, शेषफल 76। चढ़ाई = 173 − 76 = 97। शेषफल 76 "नीचे कितनी दूरी" का उत्तर है, और जान-बूझकर दिया गया है। शेषफल लिखने से पहले पढ़िए कि प्रश्न किस दिशा का है।
24, 45 और 16 में से कोई 63295 में नहीं जाता। जोड़ने योग्य न्यूनतम?
LCM = 24 × 32 × 5 = 720 (24 16 से, 32 45 से)। 63295 = 720 × 87 + 655। 720 − 655 = 65 जोड़िए। 24 चूककर 24 वाला 23 लेने पर LCM 360 और ग़लत उत्तर आता है।
307 का सबसे बड़ा 5-अंकीय गुणज: 99999 = 307 × 325 + 224, अतः 99999 − 224 = 99775।
239 का सबसे छोटा 6-अंकीय गुणज: 100000 = 239 × 418 + 98, अतः 100000 + (239 − 98) = 100141।
छत से नीचे उतरिए; फ़र्श से ऊपर चढ़िए। ग़लत दिशा में जाने पर ग़लत अंकों वाला असली गुणज मिलता है।
"कौन-सा गुणज अधिक पास है" के लिए तुलना करनी पड़ती है, मान नहीं लेनी। 158 के नीचे 43917 151 छोड़ता है, 158 के आधे से बहुत अधिक, अतः ऊपर वाला गुणज (43924, केवल 7 दूर) पास है। सहज ही नीचे लेने पर 43766 आता है, जो 151 दूर है।
k जोड़ने पर शेषफल k बढ़ता है; k घटाने पर घटता है, भाजक पर चक्कर लगाते हुए। शेषफल r से लक्ष्य t तक जाने के लिए:
चक्कर तभी चाहिए जब लक्ष्य वर्तमान शेषफल की ग़लत दिशा में हो।
13 पर, 4826395 2 छोड़ती है। कम से कम कितना घटाएँ कि वह 6 छोड़े?
लक्ष्य 6 वर्तमान 2 से ऊपर है, और घटाना केवल नीचे लाता है — अतः चक्कर लगाइए: 2 − k = −7, k = 9। सूत्र: (2 − 6) mod 13 = 9। सहज उत्तर 2 (शून्य का लक्ष्य) और 4 (6 − 2) दोनों ग़लत हैं।
सहज ही शेषफल 0 का लक्ष्य मान लेना। प्रश्न कहता है "इसके बदले 5 छोड़े" — लक्ष्य 5 है, 0 नहीं। कुछ भी निकालने से पहले लक्ष्य पढ़िए।
गुणनफल का हर prime गुणनखंड दोनों में से किसी एक गुणक से आता है। 8721 × 3n5 को 165 = 3 × 5 × 11 का गुणज बनाने के लिए: 8721 3 देता है (अंक-योग 18) पर 5 या 11 नहीं। 5 3n5 के अंतिम अंक से मुफ़्त मिल जाता है; 11 के लिए 3 − n + 5 = 8 − n को 0 या 11 होना चाहिए, अतः n = 8। 3n5 को 3 से जाँचना व्यर्थ काम होता।
6545 × 4n8 112 का गुणज है। n ज्ञात कीजिए।
112 = 16 × 7। 6545 विषम है (कोई 2 नहीं) और 6545 = 7 × 935 (7 मिल गया)। अतः 4n8 को चारों 2 देने होंगे — उसे स्वयं 16 का गुणज होना चाहिए। 400 के दशक में 16 के गुणज 400, 416, 432, 448, 464, 480, 496 हैं; केवल 448 4n8 से मेल खाता है। n = 4। 16 के बदले केवल 8 से जाँचने पर 408 और 488 भी निकल आते।
"केवल 12 से विभाज्य / केवल 25 से / दोनों से / किसी से नहीं": पहले दोनों परीक्षण पूरे कीजिए। 638712 12 पार करती है (अंतिम दो अंक 12, अंक-योग 27) और 25 पर गिरती है (अंतिम दो अंक 00/25/50/75 में नहीं) → केवल 12। विकल्प जल्दी पढ़ने पर एक ही के बाद रुक जाने का लालच आता है।
दोनों पास हों और भाजक co-prime हों तो संख्या उनके गुणनफल से भी विभाज्य है; गुणनखंड साझा हो तो केवल उनके LCM से — 24 और 45 मिलकर 360 की गारंटी देते हैं, 1080 की नहीं।
क्रम: सम-विषम → अंतिम अंक → अंक-योग → एकांतर योग → 7/13 खंड → osculator। हर चरण अगले से सस्ता है और प्रायः कम से कम एक विकल्प मार देता है। 17, 19, 23, 29, 31 के लिए कोई सस्ती छलनी नहीं, अतः हर उम्मीदवार पर काम करना पड़ता है — पर osculator हर एक को चार-पाँच छोटे चरणों में निपटा देता है।
| व्यंजक | गुणनखंडित रूप | निश्चित गुणनखंड |
|---|---|---|
| an − 1 | (a − 1)(an−1 + … + 1) | a − 1 |
| an + 1 (n विषम) | (a + 1)(an−1 − … + 1) | a + 1 |
| an − an−1 | an−1(a − 1) | a − 1 और a के prime |
| an + an−1 | an−1(a + 1) | a + 1 और a के prime |
| a3 − b3 | (a − b)(a2 + ab + b2) | a − b |
| a3 + b3 | (a + b)(a2 − ab + b2) | a + b |
| a4 − b4 | (a − b)(a + b)(a2 + b2) | तीनों कोष्ठक |
| an + an+1 + an+2 + an+3 | an(1 + a + a2 + a3) = an(1+a)(1+a2) | कोष्ठक के prime |
11, 13, 25, 45 में से कौन 615 − 614 को विभाजित करता है?
= 614(6 − 1) = 5 × 214 × 314। prime हैं 2, 3 और एक 5। 45 = 9 × 5 ✔; 25 को दो पाँच चाहिए ✗; 11 और 13 कहीं नहीं। उत्तर 45।
230 + 231 + 232 का सबसे बड़ा एक-अंकीय भाजक?
= 230(1 + 2 + 4) = 230 × 7। विभाजित करने वाले एक-अंकीय: 1, 2, 4, 7, 8। सबसे बड़ा 8 है, ललचाने वाला 7 नहीं। प्रश्न सबसे बड़ा माँग रहा है, रोचक prime नहीं।
उत्तर a − 1 है, और सबसे छोटी स्थिति n = 1 दिखाती है कि उससे बड़ी किसी की गारंटी नहीं। 4n − 1 → 3; 6n − 1 → 5; 8n − 1 → 7; 52n − 1 = 25n − 1 → 24; 32n − 1 = 9n − 1 → 8। घातांक देखिए: 52n में 2 आधार को 5 नहीं, 25 बनाता है।
"कौन विभाजित करने में असफल" सामान्य प्रश्न को उलट देता है — तीन विकल्प विभाजित करते हैं और एक नहीं। 320 + 321 + 322 = 320 × 13 के लिए योग विषम है, अतः 26 असफल जबकि 13, 39 और 117 सब चलते हैं। "असफल" शब्द पढ़िए।
k क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल सदैव k! से विभाज्य होता है — लगातार 3 से 6, 4 से 24, 5 से 120। किन्हीं 3 क्रमागत में एक 3 की गुणज और एक सम होती है।
| व्यंजक | क्यों | सदैव विभाज्य |
|---|---|---|
| n3 − n = (n−1)n(n+1) | 3 क्रमागत | 6 |
| n5 − n = (n−1)n(n+1)(n2+1) | 3 क्रमागत, और n2+1 से 5 | 30 |
| n7 − n | 3 क्रमागत, और Fermat के प्रमेय से 7 | 42 |
| n3 + 2n = (n3 − n) + 3n | दोनों भाग 3 के गुणज | 3 |
| 5 क्रमागत का योग = 5(n+2) | बीच वाली संख्या का 5 गुना | 5 |
| 3 क्रमागत के घनों का योग | 3n3+9n2+15n+9, कोष्ठक में एक और 3 | 9 |
| 3 क्रमागत सम का गुणनफल = 8n(n+1)(n+2) | सम संख्याओं से 8, क्रम से 6 | 48 |
सबसे छोटी स्थिति (n = 1 या n = 2) सदैव दिखाती है कि उससे बड़ी किसी की गारंटी क्यों नहीं: 25 − 2 = 30, अतः 60 असफल।
| प्रतिरूप | बराबर | निश्चित भाजक |
|---|---|---|
| abab (2-अंकीय खंड दो बार) | 101 × ab | 101 |
| abcabc (3-अंकीय खंड दो बार) | 1001 × abc | 1001 = 7 × 11 × 13 |
| abcdabcd (4-अंकीय खंड दो बार) | 10001 × abcd | 10001 = 73 × 137 |
| ababab (2-अंकीय खंड तीन बार) | 10101 × ab | 10101 — 101 नहीं |
| abccba (3-अंकीय खंड फिर उसका उल्टा) | 100001a + 10010b + 1100c | 11 — 1001 नहीं |
| abc + bca + cab (घुमावें) | 111(a + b + c) | 111 |
| abab − ab | 100 × ab | 100 |
| abab − baba | 909(a − b) | 909 |
किसी k-अंकीय खंड को दो बार लिखना उसे 10k + 1 से गुणा करता है। उसे दर्पण-छवि करने पर केवल 11 मिलता है। पढ़िए कि दूसरी प्रति दोहराई गई है या उलटी गई है।
3-अंकीय संख्या में सैकड़े का अंक दहाई के अंक का दुगुना है और इकाई का अंक सैकड़े का दुगुना है। उसे विभाजित करने वाली निश्चित सबसे बड़ी संख्या?
दहाई का अंक b मानने पर: संख्या = 100(2b) + 10b + 4b = 214b। केवल b = 1, 2 वैध हैं (214, 428), और 214 गारंटी की सीमा तय करता है। सम्बन्धों को स्थानीय मान में बदलिए और गुणांक ही उत्तर है।
नीचे जाना सदैव सुरक्षित: 132 से विभाज्य ⇒ 44 से विभाज्य, क्योंकि 44, 132 का गुणनखंड है।
ऊपर जाने को co-prime भाग चाहिए: a से और b से विभाज्य ⇒ ab से विभाज्य केवल तभी जब a और b कोई prime साझा न करें। अन्यथा
गारंटी LCM है, जो छोटा है — और गुणनफल LCM से ठीक HCF गुना आगे निकल जाता है।
| दावा | निर्णय | क्योंकि |
|---|---|---|
| 8 और 9 ⇒ 72 | सत्य | co-prime |
| 4 और 25 ⇒ 100 | सत्य | co-prime |
| 9 और 20 ⇒ 180 | सत्य | co-prime |
| 10 और 15 ⇒ 150 | असत्य | 5 साझा; LCM 30। प्रति-उदाहरण 30 |
| 6 और 14 ⇒ 84 | असत्य | 2 साझा; LCM 42। प्रति-उदाहरण 42 |
| 8 और 12 ⇒ 96 | असत्य | 4 साझा; LCM 24। प्रति-उदाहरण 24 |
| 4 और 22 ⇒ 88 | असत्य | 2 साझा; LCM 44। प्रति-उदाहरण 44 |
एक प्रति-उदाहरण — स्वयं LCM — हर झूठे दावे को दोषी ठहरा देता है।
क्रम में तीन अलग निर्णय: क्या A सत्य है, क्या R सत्य है, क्या R, A की व्याख्या करता है। विकल्प पहले कभी मत पढ़िए। सत्य Reason भी व्याख्या करने में असफल हो सकता है, और सत्य Reason कभी झूठे Assertion को नहीं बचाता — 6317424 7 के परीक्षण पर गिरे तो वह 168 की गुणज नहीं, चाहे नियम "24 और 7 ⇒ 168" कितना भी सही क्यों न हो।
जिस जोड़ी पर सबसे अधिक भरोसा हो पहले उसे पक्का कीजिए — प्रायः 125 या 625 वाला गुण, जो अंतिम अंकों से पढ़ा जाता है — और असहमत हर विकल्प हटाइए। जिस गुण का कोई अंक-नियम नहीं (81, 243, 343, 121 जैसे prime के वर्ग) उसे तब तक छोड़िए जब तक मैदान एक उम्मीदवार तक सँकरा न हो जाए, फिर भाग से पुष्टि कीजिए।
परीक्षा से एक रात पहले केवल यही पन्ना पढ़िए।
| भाजक | नियम | क्योंकि |
|---|---|---|
| 2 / 4 / 8 / 16 / 32 | अंतिम 1 / 2 / 3 / 4 / 5 अंक | 10k = 2k × 5k |
| 5 / 25 / 125 / 625 | अंतिम 1 / 2 / 3 / 4 अंक | वही |
| 3, 9 | अंक-योग (शेषफल भी देता है) | 10 ≡ 1 |
| 11 | दाईं ओर से एकांतर योग | 10 ≡ −1 |
| 7, 11, 13 | 3-अंकीय खंड बारी-बारी | 1001 = 7 × 11 × 13 |
| 27, 37 | 3-अंकीय खंड जोड़कर | 999 = 27 × 37 |
| 7, 17, 31 | osculator: अंतिम अंक का 2, 5, 3 गुना घटाइए | 21, 51, 31 1 पर समाप्त |
| 13, 19, 23, 29 | osculator: अंतिम अंक का 4, 2, 7, 3 गुना जोड़िए | 39, 19, 69, 29 9 पर समाप्त |
| संयुक्त | co-prime भागों में तोड़िए | 24 = 8 × 3, कभी 4 × 6 नहीं |
| स्थिति | फॉर्मूला |
|---|---|
| भाग-क्रिया का नियम | भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल, r < भाजक |
| दो संख्याएँ, योग S, भागफल q, शेषफल r | छोटी = (S − r)/(q + 1) |
| दो संख्याएँ, अंतर D | छोटी = (D − r)/(q − 1) |
| 1..n में k के गुणज | ⌊n/k⌋ |
| a..b में k के गुणज | ⌊b/k⌋ − ⌊(a−1)/k⌋ |
| a और b / a या b / a नहीं b | n(LCM) / n(a)+n(b)−n(LCM) / n(a)−n(LCM) |
| a, b में ठीक एक | n(a) + n(b) − 2 n(LCM) |
| घटाने / जोड़ने योग्य न्यूनतम | r / k − r (योग सदैव k) |
| निकटतम गुणज | r < k/2 हो तो नीचे, r > k/2 हो तो ऊपर |
| शेषफल r → t खिसकाना | जोड़कर (t−r) mod k | घटाकर (r−t) mod k |
| सबसे बड़ा n-अंकीय गुणज | (सबसे बड़ी n-अंकीय) − शेषफल |
| सबसे छोटा n-अंकीय गुणज | (सबसे छोटी n-अंकीय) + (k − शेषफल) |
| an − 1 | सदैव a − 1 से विभाज्य |
| a3 ± b3 | सदैव a ± b से विभाज्य |
| k क्रमागत पूर्णांक | गुणनफल k! से विभाज्य |
| n3−n / n5−n / n7−n | 6 / 30 / 42 |
| 2-अंकीय उलट | योग 11(a+b); अंतर 9(a−b) |
| 3-अंकीय उलट | अंतर 99(a−c); अंक-योग घटाने पर → 9 |
| 4-अंकीय बाहरी अंक बदलना | अंतर 999(a−d) |
| खंड दो बार लिखा | × 101 / 1001 / 10001 (2 / 3 / 4 अंक) |
उत्तर: 1) 2 2) 8 3) 10 4) 250 5) 97 6) 9 7) 45 8) नहीं — LCM 42 है; प्रति-उदाहरण 42
ये त्वरित परीक्षण हैं जो बिना भाग किए बताते हैं कि एक संख्या दूसरी को विभाजित करती है या नहीं। अंतिम-अंकों वाले नियम 2, 4, 8, 5, 25 और 125 को कवर करते हैं; अंक-योग नियम 3 और 9 को; एकांतर-योग नियम 11 को; और खंड-विधियाँ तथा osculator 7, 13, 17, 19 और अन्य prime को। संयुक्त भाजकों को co-prime भागों में तोड़कर परखा जाता है।
10 की हर घात 9 से भाग देने पर शेषफल 1 छोड़ती है, अतः हर अंक शेषफल में केवल स्वयं जोड़ता है। अंक जोड़ने से इसीलिए पूरी संख्या जैसा ही शेषफल मिल जाता है। वही तर्क 3 के नियम को भी चलाता है, और 11 का नियम 10 की घातों के बारी-बारी +1 और −1 होने से आता है।
दो तरीके। Osculator: अंतिम अंक अलग कीजिए, दुगुना कीजिए, बचे भाग से घटाइए, और संख्या छोटी होने तक दोहराइए। या 1001 विधि: दाईं ओर से तीन-तीन अंकों के खंड लीजिए, चिह्न बारी-बारी लगाकर जोड़िए — परिणाम मूल संख्या जैसा ही शेषफल छोड़ता है, और यह 11 तथा 13 के लिए भी साथ-साथ काम कर देता है।
भाजक को co-prime भागों में तोड़कर हर एक परखिए: 72 = 8 × 9, 88 = 8 × 11। भाग कोई गुणनखंड साझा न करें — 24 को 8 × 3 में तोड़िए, 4 × 6 में नहीं, क्योंकि 4 और 6 दोनों में 2 है और वह परीक्षण 24 पर गिरने वाली संख्याओं को भी पास कर देता।
भाग दीजिए और शेषफल r लीजिए। घटाने योग्य न्यूनतम r है; जोड़ने योग्य न्यूनतम भाजक घटा r है। दोनों का योग सदैव भाजक होता है, जो त्वरित जाँच है। तीन भाजकों के लिए उनका LCM भाजक की तरह प्रयोग कीजिए।
यहाँ कोई खंड पूरा करने के बाद TrickySSC पर उससे जुड़ा विभाज्यता के नियम वाला प्रैक्टिस टेस्ट दीजिए। टेस्ट तीन स्तरों में बँटे हैं, और हर प्रश्न के साथ चरण-दर-चरण हल है।
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