शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) — SSC CGL स्टडी नोट्स
Tier I और Tier II में पूछे जाने वाले शेषफल प्रश्नों के सारे नियम, उसी क्रम में जिस क्रम में परीक्षा उन्हें पूछती है — हर नियम के साथ एक हल किया उदाहरण और एक ट्रैप।
शेषफल (REMAINDER) के प्रश्न लगभग हर SSC CGL, CHSL और CPO शिफ्ट में आते हैं: किसी बड़ी घात को छोटी संख्या से भाग देना, तीन संख्याओं के गुणनफल को 17 से भाग देना, ऐसी संख्या जो 7 से 3 और 9 से 5 छोड़ती हो, या किसी बहुपद को \( (x - 2) \) से भाग देना। इनमें से कोई भी वास्तव में गणना करने के लिए नहीं है। हर प्रश्न लगभग दस नियमों में से किसी एक पर टिका है, और नियम पहचानते ही प्रश्न एक मिनट से कम में हल हो जाता है। ये नोट्स ठीक वही नियम देते हैं, उसी तरह जैसे इस साइट के चैप्टर टेस्ट बने हैं: पहले नियम सामान्य अक्षरों में, फिर एक उदाहरण, फिर वह गलती जो अधिकांश अभ्यर्थी करते हैं।
- शेषफल क्या है — भाज्य का सूत्र
- योग, अंतर और गुणनफल — हर पद की जगह उसका शेषफल रखें
- घात जब आधार भाजक से एक अधिक या एक कम हो
- किसी भी आधार की घात — चक्र (Cycle) विधि
- घातों का योग
- n के गुणज और बहुपद, और गुणनखंड-भाजक पर जाना
- शेषफल-तथ्यों से भाजक निकालना
- क्रमिक भाग (Successive Division)
- दो या तीन शेषफल-शर्तें पूरी करने वाली संख्याएँ
- aⁿ ± bⁿ की विभाज्यता और "सदैव विभाज्य" व्यंजक
- बहुपद शेषफल प्रमेय (Polynomial Remainder Theorem)
- विशेष रूप — लंबी संख्याएँ, क्रमगुणित, घात-मीनार
- अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
1शेषफल क्या है — भाज्य का सूत्र
जब \( N \) को \( d \) से भाग दिया जाता है तो भागफल \( q \) और शेषफल \( r \) मिलता है, जहाँ \( 0 \le r < d \)। पूरा अध्याय एक ही सर्वसमिका पर टिका है:
\( N = d \times q + r \) (भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल), और शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है।
नीचे हर जगह प्रयुक्त संक्षिप्त रूप: "\( N \bmod d \)" का अर्थ है "\( N \) को \( d \) से भाग देने पर शेषफल", और \( a \equiv b \) (mod \( d \)) का अर्थ है \( a \) और \( b \), \( d \) से एक ही शेषफल छोड़ते हैं।
एक संख्या को 56 से भाग देने पर भागफल 143 और शेषफल 39 आता है। 45 से शेषफल? पहले संख्या बनाएँ: \( N = 56 \times 143 + 39 = 8047 \); फिर \( 8047 = 45 \times 178 + 37 \)। उत्तर 37।
शेषफल कभी भाजक के बराबर या उससे बड़ा नहीं हो सकता। यदि आपकी गणना "17 से शेषफल 24" पर समाप्त हो रही है तो काम अधूरा है — एक बार और कम करके 7 करें।
2योग, अंतर और गुणनफल — हर पद की जगह उसका शेषफल रखें
\( (A + B) \bmod d = (r_A + r_B) \bmod d \), \( (A - B) \bmod d = (r_A - r_B) \bmod d \), \( (A \times B) \bmod d = (r_A \times r_B) \bmod d \)।
जो पद \( d \) का गुणज है, वह 0 देता है। तेज़ी के लिए शेषफल ऋणात्मक भी लिया जा सकता है: 50 से 49 का शेषफल \( -1 \), 47 का \( -3 \)। ऋणात्मक उत्तर में \( d \) जोड़कर धनात्मक बनाएँ।
\( 47 \times 48 \times 49 \times 51 \) का 50 से: \( (-3)(-2)(-1)(+1) = -6 \), और \( -6 + 50 = \) 44। ऋणात्मक के बिना आपको 47·48·49·51 हाथ से गुणा करना पड़ता।
हर गुणा के बाद कम करें ताकि संख्याएँ छोटी रहें: \( 58 \times 59 \times 62 \) का 13 से → \( 6 \times 7 = 42 \to 3 \); \( 3 \times 10 = 30 \to 4 \)।
विषम संख्या में ऋणात्मक गुणनखंड हों तो गुणनफल ऋणात्मक आता है — \( (-3)(-2)(-1) = -6 \), 6 नहीं। ऋण चिह्न गिनें।
3घात जब आधार भाजक से एक अधिक या एक कम हो
हर \( n \) के लिए \( (d + 1)^{n} \bmod d = 1 \)।
\( (d - 1)^{n} \bmod d = 1 \) यदि \( n \) सम हो, और \( d - 1 \) (अर्थात \( -1 \)) यदि \( n \) विषम हो।
कारण: \( (d \pm 1)^{n} \) का विस्तार \( d \) का गुणज \( + (\pm 1)^{n} \) होता है।
\( 23^{45} \) का 24 से: \( 23 \equiv -1 \), 45 विषम, अतः शेषफल \( -1 \to \) 23। \( 9^{100} + 15 \) का 8 से: \( 9 \equiv 1 \), अतः \( 1 + 15 = 16 \to \) 0। \( 25^{33} + 27 \) का 26 से: \( -1 + 27 = 26 \to \) 0।
भाजक के दोनों ओर के आधार कट जाते हैं: \( 11^{11} + 13^{13} \) का 12 से \( -1 + 1 = 0 \); \( 35^{64} + 35^{63} \) का 36 से \( 1 - 1 = 0 \)।
आधार \( d - 1 \) हो तो उत्तर घातांक के सम/विषम होने पर निर्भर है। \( 23^{45} \) का 24 से 1 लिख देना इस अध्याय की सबसे आम चूक है।
4किसी भी आधार की घात — चक्र (Cycle) विधि
पहले आधार कम करें: \( a^{n} \bmod d = (a \bmod d)^{n} \bmod d \)। फिर \( a, a^{2}, a^{3}, \ldots \) के \( d \) से शेषफल तब तक निकालें जब तक 1 (या \( -1 \)) न मिले। यदि \( a^{k} \equiv 1 \), तो शेषफल चक्र-लंबाई \( k \) पर दोहराते हैं, अतः घातांक कम करें: \( a^{n} \equiv a^{(n \bmod k)} \)। यदि \( a^{k} \equiv -1 \) मिले, तो \( a^{2k} \equiv 1 \) — \( 2k \) से कम करें और याद रखें कि बचा हुआ \( a^{k} \), \( -1 \) है।
\( 3^{100} \) का 13 से: \( 3^{3} = 27 \equiv 1 \), चक्र 3; \( 100 = 3 \times 33 + 1 \), अतः शेषफल \( 3^{1} = \) 3।
\( 3^{50} \) का 41 से: \( 3^{4} = 81 \equiv -1 \), अतः \( 3^{8} \equiv 1 \); \( 50 = 8 \times 6 + 2 \), शेषफल \( 3^{2} = \) 9।
\( 100^{55} \) का 7 से: \( 100 \equiv 2 \), \( 2^{3} \equiv 1 \), \( 55 = 3 \times 18 + 1 \), शेषफल 2।
पुनर्समूहन से आधार \( d \pm 1 \) बनाएँ: \( 2^{33} + 1 \) का 9 से = \( 8^{11} + 1 \), \( 8 \equiv -1 \), अतः शेषफल 0। \( 4^{3n} - 1 = 64^{n} - 1 \) सदैव 63 से विभाज्य है।
घातांक को चक्र-लंबाई से कम किया जाता है, भाजक से कभी नहीं। \( 3^{100} \) का 13 से \( 100 \bmod 3 \) लेता है, \( 100 \bmod 13 \) नहीं।
5घातों का योग
हर पद का शेषफल निकालें, फिर गिनें। हर पद \( r \) छोड़े तो योग (पदों की संख्या × \( r \)) mod \( d \) छोड़ता है। आधार \( d - 1 \) हो तो विषम घातें \( -1 \) और सम घातें \( +1 \) छोड़ती हैं, अतः क्रमागत पद जोड़ों में कट जाते हैं। शेषफल चक्र में चलें तो एक पूरा चक्र जोड़कर चक्र गिनें।
\( 7 + 7^{2} + \ldots + 7^{30} \) का 6 से: हर पद 1 छोड़ता है, 30 पद, \( 30 \bmod 6 = \) 0।
\( 5 + 5^{2} + \ldots + 5^{41} \) का 6 से: 21 विषम घातांक (हर एक \( -1 \)), 20 सम (हर एक \( +1 \)): \( -21 + 20 = -1 \to \) 5।
\( 3 + 3^{2} + \ldots + 3^{60} \) का 13 से: चक्र 3, 9, 1 का योग 13 \( \equiv 0 \); 20 पूरे चक्र → 0।
पद ध्यान से गिनें — \( 1 + 8 + 8^{2} + \ldots + 8^{22} \) में 23 पद हैं (घातांक 0 से 22), 22 नहीं।
6n के गुणज और बहुपद, और गुणनखंड-भाजक पर जाना
यदि \( n \bmod d = r \), तो किसी भी व्यंजक में \( n \) की जगह \( r \) रखें: \( (kn + c) \bmod d = (kr + c) \bmod d \), \( n^{2} \bmod d = r^{2} \bmod d \), \( (n^{2} + 5n + 8) \bmod d = (r^{2} + 5r + 8) \bmod d \)।
यदि \( f \), \( d \) का गुणनखंड हो, तो \( N \bmod f = r \bmod f \) — केवल पुराने शेषफल को भाग देना पड़ता है। उल्टी दिशा (\( d \) के गुणज की ओर) में कई संभावनाएँ बचती हैं: 8 से शेषफल 5 का अर्थ 24 से 5, 13 या 21।
\( n \), 9 से 7 छोड़ता है; \( 5n + 4 \) का 9 से: \( 35 + 4 = 39 \to \) 3। \( n \), 11 से 5 छोड़ता है; \( n(n + 2) \) का 11 से: \( 5 \times 7 = 35 \to \) 2।
संख्या 84 से 59 छोड़ती है; 21 से: \( 59 \bmod 21 = \) 17। शृंखला में: \( N^{2} \) का 12 से → \( 59 \bmod 12 = 11 \equiv -1 \), वर्ग → 1।
कभी \( n = d \) न रखें। भाजक \( n \) का मान नहीं है; केवल शेषफल \( n \) का प्रतिनिधि है।
7शेषफल-तथ्यों से भाजक निकालना
यदि \( N \), \( r \) छोड़ता है और \( kN \), \( r' \) छोड़ता है (एक ही \( d \) से), तो \( d \), \( k \times r - r' \) को विभाजित करता है। इसी तरह, दो संख्याएँ \( r_1, r_2 \) छोड़ें और उनका योग \( s \) छोड़े, तो \( d \), \( r_1 + r_2 - s \) को विभाजित करता है। हर स्थिति में \( d \) हर दिखे शेषफल से बड़ा होता है — यही सीमा भाजकों में से उत्तर चुनती है।
\( N \), 11 छोड़ता है, \( 6N \), 9 छोड़ता है: \( d \mid 66 - 9 = 57 = 3 \times 19 \); \( d > 11 \) → \( d = 19 \) या 57; सबसे छोटा 19।
शेषफल 23 और 31, योग 15 छोड़ता है: \( d \mid 23 + 31 - 15 = 39 \), \( d > 31 \) → 39।
"सबसे छोटा \( d \)" का अर्थ "शेषफल से ठीक ऊपर की संख्या" नहीं — 12, 57 को विभाजित नहीं करता। भाजक सूचीबद्ध करें, फिर सीमा लगाएँ।
8क्रमिक भाग (Successive Division)
क्रमिक भाग में हर भागफल अगला भाज्य बनता है। संख्या वापस पाने के लिए पीछे से चलें: \( N = d_1\,(d_2\,(d_3 q + r_3) + r_2) + r_1 \)। सबसे छोटी ऐसी संख्या के लिए अंतिम भागफल \( q = 0 \) लें।
मुख्य कड़ी: \( d_1, d_2 \) से क्रमिक शेषफल \( r_1, r_2 \) का अर्थ है \( N \bmod (d_1 d_2) = r_1 + d_1 r_2 \)।
4, 5, 6 से क्रमिक भाग, शेषफल 3, 2, 4, अंतिम भागफल 2: \( 6 \times 2 + 4 = 16 \); \( 5 \times 16 + 2 = 82 \); \( 4 \times 82 + 3 = \) 331।
5 और 7 से क्रमिक भाग, शेषफल 3 और 4 → 35 से एक बार भाग देने पर शेषफल \( 3 + 5 \times 4 = \) 23, अंतिम भागफल चाहे कुछ भी हो।
क्रम उलटने से हर शेषफल बदल जाता है — संख्या बनाकर दोबारा भाग दें; पुराने शेषफल कभी दोबारा प्रयोग न करें।
9दो या तीन शेषफल-शर्तें पूरी करने वाली संख्याएँ
यदि \( N \), \( a \) से \( r_1 \) और \( b \) से \( r_2 \) छोड़े, और \( a, b \) सह-अभाज्य (CO-PRIME) हों, तो हल हर \( a \times b \) पर दोहराते हैं: एक परिवार सूचीबद्ध करके दूसरी शर्त जाँचें और पहला हल पाएँ, फिर \( ab \) के गुणज जोड़ें। परिवार से आप सबसे छोटा तीन-अंकीय सदस्य, सबसे बड़ा तीन-अंकीय सदस्य, किसी परास में गिनती, या तीसरे भाजक से शेषफल निकाल सकते हैं।
7 से 2 और 5 से 3 छोड़े: संख्याएँ 3, 8, 13, 18, 23 … — 23, 7 से 2 छोड़ता है, अतः परिवार \( 35k + 23 \)।
7 से 4 और 9 से 2 छोड़ने वाली सबसे बड़ी तीन-अंकीय: पहला हल 11, परिवार \( 63k + 11 \), \( 63 \times 15 + 11 = \) 956।
जब हर शेषफल अपने भाजक से एक कम हो, तो \( N + 1 \) उभयनिष्ठ गुणज है: 12 से 11 और 7 से 6 → \( N = 84k - 1 \) (83, 167, 251 …)।
प्रायः सारे विकल्प एक जाँच पास कर जाते हैं। टिक करने से पहले दोनों शर्तें जाँचें।
10aⁿ ± bⁿ की विभाज्यता और "सदैव विभाज्य" व्यंजक
\( a^{n} - b^{n} \) सदैव \( a - b \) से विभाज्य है। \( a^{n} + b^{n} \), \( a + b \) से विभाज्य है जब \( n \) विषम हो। \( a^{n} - b^{n} \), \( a + b \) से भी विभाज्य है जब \( n \) सम हो। \( a^{k} - 1 \), \( a^{n} - 1 \) को विभाजित करता है जब \( k \), \( n \) को विभाजित करे।
क्रमागत संख्याओं के गुणनफल: \( k \) क्रमागत संख्याएँ \( k! \) से विभाज्य हैं। विषम \( n \) के लिए: \( n^{2} - 1 \), 8 का गुणज, \( n^{3} - n \), 24 का। हर \( n \) के लिए: \( n^{3} - n \), 6 का और \( n^{5} - n \), 30 का गुणज।
\( 15^{n} - 4^{n} \) सदैव \( 15 - 4 = \) 11 से विभाज्य। \( 11^{25} + 5^{25} + 3 \) का 16 से: \( 11 + 5 = 16 \) पहले दो पदों को विभाजित करता है, शेषफल 3। \( 2^{30} - 1 \), \( 2^{5} - 1 = 31 \) से विभाज्य क्योंकि 5, 30 को विभाजित करता है। \( 13^{2n} - 5^{2n} \) सदैव \( 169 - 25 = 144 \) से विभाज्य।
यदि \( N \), \( a + 1 \) को विभाजित करे, तो \( N \), \( a^{\text{odd}} + 1 \) को भी: जो \( 2^{24} + 1 \) को विभाजित करे, वह \( 2^{72} + 1 \) को भी।
"सदैव विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या" का अर्थ है सबसे छोटा मामला जाँचें: \( 15^{2n} - 9^{2n} \) में \( n = 1 \) ठीक 144 देता है, अतः 288 बाहर, भले ही 144 हर आगे के मान को विभाजित करे।
11बहुपद शेषफल प्रमेय (Polynomial Remainder Theorem)
बहुपद \( f(x) \) को \( (x - a) \) से भाग देने पर शेषफल \( f(a) \) होता है — भाजक का मूल बहुपद में रखें। \( (ax - b) \) का मूल \( \dfrac{b}{a} \); \( (x + 2) \) का \( -2 \)। "पूरी तरह विभाज्य" का अर्थ शेषफल 0, और द्विघात \( (x - p)(x - q) \) से विभाज्यता का अर्थ \( f(p) = 0 \) और \( f(q) = 0 \) — दो अज्ञातों के लिए दो समीकरण।
पूरी विभाज्यता के लिए क्या घटाएँ: शेषफल \( f(a) \)। क्या जोड़ें: \( -f(a) \)।
\( x^{3} - 4x^{2} + 2x + 9 \) का \( (x - 3) \) से: \( 27 - 36 + 6 + 9 = \) 6। \( x^{20} + 1 \) का \( (x + 1) \) से: \( 1 + 1 = \) 2। \( 2x^{3} + x^{2} - 5x + 4 \) का \( (2x - 1) \) से: \( x = \tfrac{1}{2} \) पर \( \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{4} - \tfrac{5}{2} + 4 = \) 2।
\( x^{3} + ax^{2} + bx - 12 \), \( x^{2} - 4 \) से विभाज्य: \( f(2) = 0 \) और \( f(-2) = 0 \) से \( 2a + b = 2 \), \( 2a - b = 10 \) → \( a = 3, b = -4 \)।
ऋणात्मक मूल पर चिह्न: \( (-2)^{3} = -8 \) पर \( (-2)^{4} = 16 \), और \( -(-2)^{3} = +8 \)। साथ ही, "\( x^{n} + 1 \), \( x + 1 \) से विभाज्य है" केवल विषम \( n \) के लिए सच है।
12विशेष रूप — लंबी संख्याएँ, क्रमगुणित, घात-मीनार
9 या 3 से: \( 10 \equiv 1 \), अतः अंक-योग लें। 11 से: \( 10 \equiv -1 \), अतः दाईं ओर से बारी-बारी अंक-योग। 8 से: \( 1000 \equiv 0 \), अतः केवल अंतिम तीन अंक। 7, 11, 13 से: \( 1001 = 7 \times 11 \times 13 \), अतः छह समान अंकों का कोई भी खंड शून्य हो जाता है।
क्रमगुणित (FACTORIAL): \( n! \), \( d \) का गुणज तभी से है जब \( n! \) में \( d \) के सारे अभाज्य गुणनखंड आ जाएँ — \( d = 5 \) के लिए \( 5! \) से, \( d = 24 \) के लिए \( 4! \) से, पर \( d = 25 \) के लिए केवल \( 10! \) से। क्रमगुणित-योग में केवल पहले के पद बचते हैं।
घात-मीनार (POWER TOWER): \( a^{b^{c}} \) ऊपर से पढ़ी जाती है; \( a \) का चक्र ढूँढें और घातांक \( b^{c} \) को चक्र-लंबाई से कम करें (प्रायः \( b \equiv \pm 1 \) से)।
1234567891011…1920 का 9 से: अंक-योग 102 → 3। 27 चार का 11 से: \( 14 \times 4 - 13 \times 4 = \) 4। 30 सात का 8 से: \( 777 \bmod 8 = \) 1। 25 पाँच का 13 से: 24 पाँच शून्य हो जाते हैं, शेषफल 5।
\( 1! + 2! + \ldots + 100! \) का 5 से: \( 1 + 2 + 6 + 24 = 33 \to \) 3। \( 6! + 7! + 8! \) का 25 से: \( 20 + 15 + 20 = 55 \to \) 5।
\( 2^{3^{4}} \) का 5 से: चक्र 4, \( 81 \bmod 4 = 1 \), शेषफल \( 2^{1} = \) 2। \( 3^{4^{5}} \) का 7 से: चक्र 6, \( 1024 \bmod 6 = 4 \), शेषफल \( 3^{4} \equiv \) 4।
अंक-योग की तरकीब केवल 9 और 3 की है — 8, 11 या 13 के लिए कभी नहीं। और क्रमगुणित 25 से तभी शून्य होता है जब उसमें दो पाँच हों।
- कुछ भी → \( N = dq + r \), \( r < d \); हर पद की जगह शेषफल; ऋणात्मक भी चलता है।
- घात, आधार \( d \pm 1 \) → \( +1 \) सदैव / \( \pm 1 \) सम-विषम से।
- घात, अन्य आधार → आधार कम करें, चक्र \( a^{k} \equiv 1 \) (या \( -1 \)) ढूँढें, घातांक \( k \) से कम करें।
- \( n \) शेषफल से दिया → \( r \) रखें; गुणनखंड-भाजक → \( r \bmod f \)।
- अज्ञात भाजक → \( d \mid kr - r' \), और \( d > \) हर शेषफल।
- क्रमिक भाग → पीछे से बनाएँ; \( N \bmod d_1 d_2 = r_1 + d_1 r_2 \)।
- दो शर्तें → पहला हल + \( ab \) के गुणज।
- \( a^{n} \pm b^{n} \) → \( a - b \) सदैव; \( a + b \) विषम \( n \) (योग) / सम \( n \) (अंतर) पर।
- बहुपद → शेषफल \( = f(\text{root}) \); द्विघात से विभाज्य → दो समीकरण।
- विशेष → अंक-योग (9), बारी-बारी योग (11), अंतिम तीन अंक (8), \( 1001 \) (7·11·13), क्रमगुणित की कट-ऑफ, मीनार ऊपर से।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
SSC CGL Tier I में शेषफल के कितने प्रश्न आते हैं?
आमतौर पर Quantitative Aptitude में एक या दो, और Tier II Paper I में एक से तीन — प्रायः कोई बड़ी घात, गुणनफल, क्रमिक-भाग का प्रश्न या बहुपद का शेषफल।
बड़ी घात का शेषफल निकालने का सबसे तेज़ तरीका क्या है?
पहले आधार को भाजक के सापेक्ष कम करें। यदि आधार भाजक के गुणज से 1 या −1 दूर हो जाए, तो घातांक के सम/विषम होने से तुरंत उत्तर दें। अन्यथा वह सबसे छोटी घात ढूँढें जो 1 (या −1) छोड़ती है और घातांक को उस चक्र-लंबाई से कम करें।
क्या बहुपद शेषफल प्रमेय SSC के पाठ्यक्रम में है?
हाँ। "x³ − 4x² + 2x + 9 को x − 3 से भाग देने पर शेषफल" और "यदि बहुपद x² − 4 से पूरी तरह विभाज्य हो तो a और b ज्ञात कीजिए" जैसे प्रश्न CGL और CHSL में नियमित आते हैं; दोनों भाजक का मूल रखकर हल होते हैं।
क्या Fermat या Wilson प्रमेय की जरूरत है?
नहीं। SSC का हर प्रश्न आधार कम करके और चक्र हाथ से ढूँढकर हो जाता है, जो ये नोट्स सिखाते हैं। नामित प्रमेयों की जरूरत नहीं है और यहाँ के चैप्टर टेस्ट में उनका प्रयोग नहीं है।
इन नियमों का अभ्यास कहाँ करें?
TrickySSC के शेषफल प्रमेय चैप्टर टेस्ट में 100 स्तर-1 और 100 स्तर-2 प्रश्न हैं, 25-25 के सेट में, हिंदी और अंग्रेज़ी में, हर प्रश्न के साथ चरण-दर-चरण हल जो प्रयुक्त नियम का नाम बताता है।