SSC परीक्षाओं के लिए संख्या पद्धति (Number System) — पूरे स्टडी नोट्स

परिवार वृक्ष — सबसे छोटे घेरे से शुरू

• प्राकृत संख्याएँ (N): 1, 2, 3, 4, … — गिनती की संख्याएँ। सबसे छोटी 1 है।
• पूर्ण संख्याएँ (W): 0, 1, 2, 3, … — प्राकृत संख्याएँ और शून्य। सबसे छोटी 0 है।
• पूर्णांक (Z): …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … — पूर्ण संख्याएँ और ऋणात्मक संख्याएँ।
• परिमेय संख्याएँ (Q): जो p/q रूप में लिखी जा सकें, जहाँ q शून्य न हो। इसमें हर पूर्णांक (5 = 5/1), हर भिन्न, और हर वह दशमलव आता है जो या तो समाप्त होता है या दोहराता है।
• अपरिमेय संख्याएँ: जो p/q रूप में लिखी ही नहीं जा सकतीं। इनका दशमलव न समाप्त होता है न दोहराता है — √2, √3, π।
• वास्तविक संख्याएँ (R): परिमेय और अपरिमेय, दोनों मिलाकर। संख्या रेखा पर जो कुछ है, सब।

हर परिवार अगले के भीतर बैठता है: N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R।

निम्नतम रूप वाली भिन्न p/q का दशमलव तभी समाप्त होता है जब q केवल 2 और 5 से बना हो।

• 3/8: 8 = 2×2×2 → समाप्त होता है (0.375)
• 7/20: 20 = 2×2×5 → समाप्त होता है (0.35)
• 5/12: 12 = 2×2×3, इसमें 3 है → कभी समाप्त नहीं होता (0.41666…)

दोनों ही परिमेय हैं। समाप्त होने वाला और दोहराने वाला, दोनों चलते हैं; केवल "न समाप्त हो और न दोहराए" वाला अपरिमेय है।

जातीय मान = स्वयं वही अंक, चाहे वह कहीं भी हो।
स्थानीय मान = अंक × उसकी जगह का मान — यानी संख्या के भीतर उसका वास्तविक मूल्य।

617853 में इकाई से बाईं ओर चलते हुए: 3 (इकाई, 1), 5 (दहाई, 10), 8 (सैकड़ा, 100), 7 (हज़ार, 1000), 1 (दस हज़ार, 10000), 6 (लाख, 100000)।

अतः 1 का जातीय मान 1 है, पर स्थानीय मान 10000।

बिंदु से दाईं ओर चलते हुए स्थान होते हैं दशमांश (0.1), शतांश (0.01), सहस्रांश (0.001) — हर अगला पिछले का दसवाँ हिस्सा।

12.345 में: 3 दशमांश (0.3), 4 शतांश (0.04), 5 सहस्रांश (0.005)।

• सम: 2 से विभाज्य — अंत 0, 2, 4, 6, 8 से। विषम: बाकी सब।
• Prime (अभाज्य): ठीक दो गुणनखंड — 1 और वह स्वयं। 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
• Composite (भाज्य): दो से अधिक गुणनखंड। 4, 6, 8, 9, 10, …
• 1 न prime है न composite — उसका केवल एक गुणनखंड है।
• 2 एकमात्र सम prime है। बाकी हर सम संख्या में 2 एक अतिरिक्त गुणनखंड बन जाता है।
• Co-prime: वे दो संख्याएँ जिनका एकमात्र उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 हो — 8 और 9, 14 और 15। ज़रूरी नहीं कि वे स्वयं prime हों।
• Twin primes: 2 के अंतर वाले primes — (11, 13), (17, 19), (101, 103), (137, 139)।

N को जाँचने के लिए केवल primes से भाग दीजिए, और जैसे ही prime √N से आगे निकले, रुक जाइए।

वहीं क्यों रुकें? यदि N = a × b हो और दोनों √N से बड़े हों, तो a×b, N से बड़ा हो जाएगा। अतः एक गुणनखंड √N तक ज़रूर होगा।

व्यावहारिक पट्टियाँ: 121 से नीचे 2, 3, 5, 7  |  169 से नीचे 11 भी  |  289 से नीचे 13 भी।

कुछ व्यंजक n के हर मान के लिए किसी निश्चित संख्या से विभाज्य होते हैं। दो तथ्य लगभग पूरा काम कर देते हैं:

• किन्हीं 2 क्रमागत पूर्णांकों में एक सम होता है → गुणनफल 2 से विभाज्य।
• किन्हीं 3 क्रमागत पूर्णांकों में एक 3 का गुणज और एक सम होता है → गुणनफल 6 से विभाज्य।
• सामान्य नियम: k क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल k! से विभाज्य होता है।

अतः व्यंजक के भीतर छिपा क्रमागत समूह पहचानिए:

• n² − n = n(n−1) → 2 क्रमागत → सदा 2 से विभाज्य
• n³ − n = (n−1)n(n+1) → 3 क्रमागत → सदा 6 से विभाज्य
• n⁴ − n² = n²(n−1)(n+1) → सदा 12 से विभाज्य

पहला कदम, हमेशा: prime गुणनखंडन। संख्या को primes और उनकी घातों में तोड़िए।

जब तक 2 से भाग जाए, 2 से भाग दीजिए; फिर 3 से, फिर 5 से, फिर 7 से, और आगे।

360 → 180 → 90 → 45 (तीन 2), 45 → 15 → 5 (दो 3), और फिर 5।
अतः 360 = 2³ × 3² × 5।

चार सूत्र। यदि N = p^a × q^b × r^c …

• गुणनखंडों की संख्या = (a+1)(b+1)(c+1)…
• गुणनखंडों का योग = (1+p+…+p^a) × (1+q+…+q^b) × …
• सभी गुणनखंडों का गुणनफल = N^{(गुणनखंडों की संख्या)/2}
• N को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने के तरीके = गिनती का आधा (N पूर्ण वर्ग हो तो ½ और जोड़िए)

+1 क्यों? क्योंकि किसी गुणनखंड में p की घात 0, 1, 2, … से लेकर a तक हो सकती है — यानी a+1 विकल्प, और वही 0 किसी prime को पूरी तरह छोड़ देने की छूट देता है।

HCF (महत्तम समापवर्तक) = वह सबसे बड़ी संख्या जो दोनों को विभाजित करे।
LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) = वह सबसे छोटी संख्या जिसे दोनों विभाजित करें।

prime गुणनखंडन से: HCF में हर साझा prime की सबसे छोटी घात; LCM में हर prime की सबसे बड़ी घात।

24 = 2³×3, 36 = 2²×3² → HCF = 2²×3 = 12, LCM = 2³×3² = 72।

गुणनफल नियम: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या।

यह इसलिए चलता है कि हर prime के लिए HCF छोटी घात लेता है और LCM बड़ी — दोनों मिलकर मूल दोनों घातों को ठीक एक-एक बार उपयोग कर लेते हैं।

चेतावनी: यह नियम केवल दो संख्याओं के लिए है, तीन के लिए कभी नहीं।

1. a, b, c से भाग देने पर हर बार समान शेषफल r → N = LCM × k + r
2. a, b, c से पूरी तरह विभाज्य सबसे छोटी संख्या → N = LCM
3. a, b, c को विभाजित कर समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या → अंतरों का HCF
4. a, b, c को पूरी तरह विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या → स्वयं संख्याओं का HCF

भाग की पहचान: भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल, और शेषफल सदा भाजक से छोटा होता है।

d से भाग देने पर r शेष देने वाली संख्या N = dk + r जैसी दिखती है। d जोड़ने पर भागफल बदलता है, शेषफल नहीं — इसलिए ऐसी सब संख्याएँ d-d की दूरी पर बैठती हैं: r, r+d, r+2d, …

शेषफल संख्याओं की तरह ही व्यवहार करते हैं। जोड़ने, घटाने या गुणा करने से पहले किसी भी संख्या की जगह उसका शेषफल रखा जा सकता है।

यानी: यदि a का शेषफल x और b का y हो (d से भाग पर), तो a×b का शेषफल वही होगा जो x×y का, और a+b का वही जो x+y का। (अंत में यदि परिणाम d से बड़ा हो तो फिर घटा लीजिए।)

केवल आधार का अंतिम अंक मायने रखता है। ऊँची घातें लेने पर अंतिम अंक एक निश्चित समूह में दोहराते हैं, जिसे चक्र (cycle) कहते हैं।

विधि, तीन चरणों में

1. आधार का अंतिम अंक देखिए और उसका चक्र चुनिए।
2. घात को चक्र की लंबाई से भाग देकर शेषफल रखिए।
3. शेषफल 1 → पहली प्रविष्टि, 2 → दूसरी, 3 → तीसरी, और शेषफल 0 → अंतिम प्रविष्टि।

शेषफल 0 का अर्थ है समूह ठीक-ठीक पूरा हुआ, इसलिए आप चक्र के अंत पर पहुँचते हैं, शुरुआत पर नहीं। इस खंड में सबसे अधिक गलत उत्तर इसी एक बात से आते हैं।

n! ("n factorial") = 1 × 2 × 3 × … × n। अतः 5! = 120।

संख्या के अंत का शून्य 10 के एक गुणनखंड से आता है, और 10 = 2 × 5। अतः अंत के शून्यों की संख्या = भीतर बनी (2 × 5) जोड़ियों की संख्या।

किसी भी factorial में 2, 5 से कहीं अधिक होते हैं — हर दूसरी संख्या एक 2 देती है, पर 5 केवल हर पाँचवीं। अतः केवल 5 गिनिए।

गिनने का सूत्र (Legendre)। n! में 5 की संख्या =

⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ⌊n/625⌋ + …

कोष्ठक ⌊ ⌋ का अर्थ है "दशमलव भाग हटा दीजिए"। जब तक भाजक n से बड़ा न हो जाए, चलते रहिए।

एक से अधिक पद क्यों? क्योंकि 25 में दो 5 होते हैं, 125 में तीन, 625 में चार — पहला पद उन्हें केवल एक बार गिनता है, इसलिए बाद के पद बाकी उठाते हैं।

पूर्ण वर्ग बनाने के लिए कम से कम कितना जोड़ें या घटाएँ।

• घटाना हो → नीचे वाला निकटतम वर्ग लीजिए, यानी मूल को नीचे की ओर।
• जोड़ना हो → ऊपर वाला निकटतम वर्ग लीजिए, यानी मूल को ऊपर की ओर।

Surd वह मूल है जो पूरा नहीं आता — √2, √5, √300।

याद रखने योग्य मान: √2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, √5 ≈ 2.236, √6 ≈ 2.449, √7 ≈ 2.646।

Conjugate। √a + √b और √a − √b conjugate हैं। इन्हें गुणा कीजिए और surd मिट जाते हैं:

(√a + √b)(√a − √b) = a − b

यह वर्गों के अंतर वाली सर्वसमिका है, और इसी से conjugate हर में से surd साफ़ कर देते हैं।

चार योग जो कंठस्थ होने चाहिए

• 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
• 1 + 3 + 5 + … (पहली n विषम संख्याएँ) = n²
• 2 + 4 + 6 + … (पहली n सम संख्याएँ) = n(n+1)
• 1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6

समान अंतर वाली सूची (AP) का योग:

योग = (पदों की संख्या / 2) × (पहला + अंतिम)    और    पदों की संख्या = (अंतिम − पहला)/अंतर + 1

या इसे औसत × गिनती मानिए, जहाँ समान अंतर वाली सूची का औसत (पहला + अंतिम)/2 होता है।

दायरे में गुणज: 1 से N तक d के गुणजों की गिनती ⌊N/d⌋ होती है — भाग दीजिए और दशमलव हटा दीजिए।

200 तक 8 के गुणज → ⌊200/8⌋ = 25।

एक साथ दो शर्तें (समावेशन–अपवर्जन)।

a या b से विभाज्य = ⌊N/a⌋ + ⌊N/b⌋ − ⌊N/LCM⌋

अतिव्यापन एक बार घटता है क्योंकि वे संख्याएँ दो बार गिन ली गई थीं।

दोनों में से ठीक एक (प्रश्न प्रायः यों कहता है "a या b से पर उनके LCM से नहीं"):

⌊N/a⌋ + ⌊N/b⌋ − 2×⌊N/LCM⌋

अतिव्यापन दो बार घटाइए — एक बार दोहरी गिनती रोकने के लिए, और एक बार उन संख्याओं को पूरी तरह बाहर करने के लिए।

किसी निश्चित स्थान पर निश्चित अंक। हर स्थान के विकल्प गिनकर गुणा कीजिए। पहला अंक 0 नहीं हो सकता — और यह नियम ठीक एक बार लगता है।

• 3 अंकों की संख्याएँ जिनमें दहाई का अंक 7 हो: 9 × 1 × 10 = 90
• 3 अंकों की संख्याएँ जिनमें सैकड़े का अंक 5 हो: 1 × 10 × 10 = 100 (पहला अंक पहले से तय है, इसलिए कोई रोक बची ही नहीं)
• 4 अंकों की संख्याएँ जो 0 पर समाप्त हों: 9 × 10 × 10 × 1 = 900

Binary में केवल 0 और 1 चलते हैं। दाईं ओर से स्थानीय मान होते हैं 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, … — हर अगला पिछले का दोगुना (जबकि हमारी सामान्य दशमलव पद्धति में 1, 10, 100 होते हैं)।

x + 1/x की सीढ़ी। वर्ग करने पर हर बार +2 आ जाता है, क्योंकि x × 1/x = 1।

• x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2
• x² + 1/x² = (x − 1/x)² + 2
• x⁴ + 1/x⁴ = (x² + 1/x²)² − 2

चिह्न पर ध्यान: जोड़ दिया हो तो 2 घटाइए; घटाव दिया हो तो 2 जोड़िए।

1. दो तरह के सिक्के या नोट। गिनती का समीकरण + मूल्य का समीकरण।

एक और दो रुपये के कुल 45 सिक्के, कुल मूल्य Rs 68। दो रुपये के कितने?

a + b = 45 और a + 2b = 68। घटाइए → b = 23।

तेज़ रास्ता: यदि पैंतालीसों एक रुपये के होते तो मूल्य 45 होता; अतिरिक्त 68 − 45 = 23 दो रुपये वाले सिक्कों से आता है, हर एक 1 अतिरिक्त देता है।

2. दंड सहित अंक। "सभी प्रश्न हल किए" का अर्थ है सही + गलत = कुल, कोई तीसरा समूह नहीं।

हर सही पर 4 अंक, हर गलत पर 1 कटता है, सभी 50 हल किए, अंक 120।

4c − (50 − c) = 120 → 5c = 170 → c = 34।

तेज़ रास्ता: सभी सही होते तो 200। हर गलती 4 + 1 = 5 की हानि करती है (4 न मिलना और 1 कटना)। कमी 80 → 80/5 = 16 गलत → 34 सही।

गलत = (अधिकतम − प्राप्त अंक) / (प्रति सही अंक + दंड)

3. आयु। सुनहरा नियम: t वर्ष बाद हर व्यक्ति की आयु t से बढ़ती है। किसी एक की आयु अकेले मत बढ़ाइए।

पिता अभी पुत्र से 7 गुना; 6 वर्ष बाद 4 गुना होंगे।

7s + 6 = 4(s + 6) → 3s = 18 → पुत्र 6 वर्ष का, पिता 42 के।

हर बार चलने वाली जाँच: आयु का अंतर कभी नहीं बदलता। 42 − 6 = 36 अभी, 48 − 12 = 36 बाद में ✔

सूत्र: पिता अभी m गुना और t वर्ष बाद n गुना हों, तो पुत्र की आयु = t(n−1)/(m−n)।

4. सिर और टाँगें। मुर्गी 2 टाँगें, गाय 4; साइकिल 2 पहिए, रिक्शा 3।

36 सिर, 100 टाँगें, मुर्गियाँ और गायें। → h + c = 36, 2h + 4c = 100 → h = 22।

तेज़ रास्ता: सब मुर्गियाँ होतीं तो टाँगें 72 होतीं। अतिरिक्त 28, और हर गाय 2 अतिरिक्त देती है → 14 गायें, 22 मुर्गियाँ।

5. योग और संबंध। दो संख्याएँ, एक योग और एक तुलना।

योग 108; बड़ी संख्या छोटी के 3 गुने से 8 अधिक है।

बड़ी को दो तरह से लिखिए: 108 − s और 3s + 8। बराबर रखिए → 4s = 100 → s = 25, बड़ी = 83।

ध्यान से पढ़िए: "छोटी के 3 गुने से 8 अधिक" 3s + 8 है, 3(s + 8) नहीं।

6. एक ही संख्या के भिन्नात्मक भाग। "हर 8 में से 5 भाग" का अर्थ बस पाँच-अष्टमांश है।

किसी संख्या का 5/8, उसी के 3/5 से 6 अधिक है।

पहले भिन्नें घटाइए: 5/8 − 3/5 = 25/40 − 24/40 = 1/40।
अतः (1/40)x = 6 → x = 240।

संख्या = दिया गया अंतर ÷ भिन्नों का अंतर

7. अनुपात। m : n को mx और nx बना लीजिए — अनुपात नाप तय करता है, x आकार।

• अंतर दिया हो: लड़के : लड़कियाँ = 7 : 5 और लड़के 24 अधिक → 2x = 24 → x = 12 → कुल 12x = 144। एक पंक्ति में: कुल = (पदों का योग / पदों का अंतर) × दिया गया अंतर।
• दोनों में से समान राशि घटे: 7 : 9 में से 12 घटाने पर 5 : 7 → आड़ा गुणा 7(7x − 12) = 5(9x − 12) → 4x = 24 → बड़ी = 9x = 54। ध्यान दीजिए, समान राशि जोड़ने या घटाने पर अनुपात बना नहीं रहता — केवल गुणा या भाग पर रहता है।
• जुड़े हुए अनुपात: a : b = 4 : 7 और b : c = 14 : 15। b को बराबर कीजिए — पहले को 2 से गुणा → 8 : 14। अतः a : b : c = 8 : 14 : 15, और a : c = 8 : 15। अंतिम अनुपात सदा निम्नतम रूप में लिखिए।
• गुणनफलों की बराबरी: यदि 3a = 4b तो a : b = 4 : 3 — गुणांक बदल जाते हैं। बड़ा गुणांक, छोटा अक्षर।